Herons formel

Herons formel - en formel til beregning af arealet af en trekant fra længden af dens sider : $S$ $a,b,c$

S={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))

hvor er trekantens halvperimeter :. $s$ $p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)$

Formlen er indeholdt i "Metric" for Heron af Alexandria (1. århundrede e.Kr.) og er opkaldt efter ham (selvom den også var kendt af Archimedes ). Heron var interesseret i trekanter med heltalsider, hvis områder også er heltal, sådanne trekanter kaldes heroniske , den enkleste heronske trekant er den egyptiske trekant .

Bevis 1 (trigonometrisk):

S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }

hvor er trekantens vinkel modsat siden . I henhold til cosinusloven : $\ \gamma$ $c$

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,

Herfra:

\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},

Midler,

\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2} } \over 2ab}=

={{c^{2}-(ab)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+ab)(a+bc)(a+b+c)

Når vi bemærker, at , , , , får vi: $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a+cb=2p-2b$ $c-a+b=2p-2a$

\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))).

På denne måde

S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(pa)(pb)(pc))),

h.t.d.

Bevis 2 (baseret på Pythagoras sætning):

Ifølge Pythagoras sætning har vi følgende ligheder for hypotenuserne: a 2 \ u003d h 2 + ( c − d ) 2 og b 2 \ u003d h 2 + d 2 - se figuren til højre. Trækker vi den anden lighed fra den første, får vi a 2 − b 2 = c 2 − 2 cd . Denne ligning giver os mulighed for at udtrykke d i form af trekantens sider:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}

For højden h havde vi ligheden h 2 = b 2 − d 2 , hvori vi kan erstatte det resulterende udtryk for d og anvende formlerne for kvadrater :

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c }}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}- c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(bc) ^{2})}{4c^{2))}={\frac {(b+ca)(b+c+a)(a+bc)(a-b+c)}{4c^{2} }}\\\end{aligned}}

Når vi bemærker, at , , , , får vi: $b+ca=2p-2a$ $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a-b+c=2p-2b$

{\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(pa)\cdot 2p\cdot 2(pc)\cdot 2(pb)}{4c^{2))}={ \frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{2}}}\end{aligned}}

Ved at bruge den grundlæggende lighed for arealet af en trekant og erstatte det resulterende udtryk for h i det, har vi endelig: $S={\frac {ch}{2))$

{\begin{aligned}S={\sqrt ({\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{ 2}}}}}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))\end{aligned}}

h.t.d.

Variationer og generaliseringer

Ved at udtrykke semiperimeteren i form af halvsummen af alle sider i en given trekant, kan vi opnå tre ækvivalente Heron-formler: $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2} )-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c))).$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^ {2}}}.$

Herons formel kan skrives ved hjælp af determinanten i formen [1] : $-16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1 \\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$

Den første determinant af den sidste formel er et specialtilfælde af Cayley-Menger determinanten til beregning af hypervolumen af en simplex .

En række formler for arealet af en trekant ligner strukturen til Herons formel, men er udtrykt i form af andre parametre i trekanten. For eksempel gennem længderne af medianerne , og og deres halvsum [2] : $m_{a}$ $m_{b}$ $m_{c}$ $\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2$ $S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) )$ ;

gennem længderne af højderne og og den halve sum af deres gensidige [3] :

h_{a}

h_{b}

h_{c}

H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2

S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1 })}}

; gennem vinklerne af trekanten , og , den halve sum af deres sinus og diameteren af den omskrevne cirkel [4] :

\alfa

\beta

\gamma

s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2

D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}

S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma ))).

Arealet af en firkant indskrevet i en cirkel beregnes ved hjælp af Brahmagupta-formlen : $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}$ ,

hvor er halvperimeteren af firkanten; i dette tilfælde viser trekanten sig at være grænsetilfældet for en indskrevet firkant, når længden af en af siderne har en tendens til nul. Den samme Brahmagupta-formel gennem determinanten [5] :

p={\frac {a+b+c+d}{2}}

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))

For tetraeder er Heron-Tartaglia-formlen korrekt , som også er generaliseret til tilfældet med andre polyedre ( fleksible polyedre ): hvis tetraederet har lige store kantlængder , så gælder følgende udtryk for dets volumen : $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$ $V$ ${\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^ {2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2 }l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2} ^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2 }+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_ {2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_ {3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}$ .

Heron-Tartaglia-formlen kan skrives eksplicit for tetraederet: hvis , , , , , er længderne af tetraederets kanter (de første tre af dem danner en trekant; og f.eks. er kanten modsat kanten , og så videre), derefter formlerne [6] [7] : $U$ $V$ $W$ $u$ $v$ $w$ $u$ $U$ ${\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+ d) )\,(a+b+cd)}}{192\,u\,v\,w}}$

hvor:

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz} }\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+ w )\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v ) \\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}

Ifølge Luilliers sætning udtrykkes arealet af en sfærisk trekant i form af dens sider som: $\theta _{a}={\frac {a}{R)),\theta _{b}={\frac {b}{R)),\theta _{c}={\frac {c}{ R}}$ $S=4R^{2}\,\operatørnavn {arctg} {\sqrt {\operatørnavn {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatørnavn {tg} \ venstre({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatørnavn {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{ b}}{2}}\right)\operatørnavn {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)))$ ,

hvor er semiperimeteren.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

Noter

↑ Weisstein, Eric W. Herons formel. Arkiveret 5. september 2015 på Wayback Machine From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formel for trekanten, Mathematical Gazette" 87, juli 2003, 324-326.
↑ Mitchell, Douglas W., "En Heron-type formel for det gensidige areal af en trekant," Mathematical Gazette 89, november 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, marts 2009, 108-109.
↑ Starikov V.N. Noter om geometri // Videnskabelig søgning: humanitære og socioøkonomiske videnskaber: en samling af videnskabelige artikler. Nummer 1 / kap. udg. Romanova I.V. Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. S. 37-39
↑ W. Kahan, "Hvad har volumen af et tetrahedron at gøre med computerprogrammeringssprog?", [1] Arkiveret 27. juni 2013 på Wayback Machine , s. 16-17.
↑ Markelov S. Formel for volumen af et tetraeder // Matematisk uddannelse. Problem. 6. 2002. S. 132

Litteratur

§ 258 i A. P. Kiselev, Geometri ifølge Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Nikolaev N. På arealet af en trekant // V.O.F.E.M. . - 1890. - Nr. 108 . - S. 227-228 . (Russisk)
Raifaizen, Claude H. Et enklere bevis på Herons formel // Mathematics Magazine : magazine . - 1971. - Bd. 44 . - S. 27-28 . — bevis for Herons formel baseret på Pythagoras sætning

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer