Cheviana

Ceviana er et linjestykke i en trekant , der forbinder trekantens toppunkt med et punkt på den modsatte side [1] . Ofte betragtes tre sådanne segmenter, der krydser hinanden på et punkt, som tilsammen kaldes cevianer. Navnet "ceviana" kommer fra navnet på den italienske ingeniør Giovanni Ceva , som beviste den berømte cevian-sætning, som bærer hans navn [2] . Medianer , halveringslinjer og højder i en spids trekant er specielle tilfælde af cevianer.

Længde

Stewarts teorem

Længden af ceviana kan findes ved hjælp af Stewart-sætningen - længden af ceviana d (se figur) er givet ved formlen

\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).

Median

Hvis ceviana er medianen (det vil sige halverer siden), kan længden bestemmes af formlen

m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})

eller

2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}

fordi

a=2m.

Følgelig,

d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2))}{2))

Bisector

Hvis ceviana er en halveringslinje , opfylder dens længde formlen

\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),

og [3]

d^{2}+mn=bc

hvor

d={\frac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}}

hvor semiperimeter s = ( a+b+c )/2 .

Side a er opdelt i forhold b : c .

Højde

Hvis ceviana er en højde og derfor vinkelret på en side, opfylder dens længde formlerne

{\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2))

d={\frac {2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)))){a)),

hvor semiperimeter s = ( a+b+c ) / 2.

Relationsegenskaber

Der er forskellige egenskaber ved proportionerne af længder dannet af tre cevianer, der passerer gennem et fælles indre punkt [4] . Trekanten i figuren til højre opfylder lighederne

{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1;

( Cevas sætning )

{\frac {AO}{OD}}={\frac {AE}{EC}}+{\frac {AF}{FB}};

( Van Obel trekantsætning )

{\frac {OD}{AD}}+{\frac {OE}{BE}}+{\frac {OF}{CF}}=1;

( Gergonnes sætning )

{\frac {AO}{AD}}+{\frac {BO}{BE}}+{\frac {CO}{CF}}=2.

( Gergonnes sætning )

De sidste to egenskaber er ækvivalente, fordi summen af disse to ligninger giver identiteten 1 + 1 + 1 = 3.

Perimeterdelere

Omkredsdelerne i en trekant er ceviana, som halverer omkredsen . Tre sådanne skillelinjer skærer hinanden ved trekantens Nagel-punkt .

Arealdelere

De tre divisorer (i halvdelen) af arealet af en trekant er dens medianer.

Trisektorer

Hvis der tegnes to cevianer ved hvert hjørne af en trekant, idet vinklerne opdeles i tre lige store dele, så krydser seks cevianer parvis og danner en regulær trekant , kaldet Morley-trekanten .

Området af den indre trekant dannet af cevians

Rouths sætning definerer forholdet mellem arealet af en given trekant og arealet af en trekant dannet af det parvise skæringspunkt mellem tre cevianer, en fra hvert toppunkt.

Se også

Noter

↑ Coxeter og Greitzer 1967 , s. fire.
↑ Lightner, 1975 , s. 612-615.
↑ Johnson, 2007 , s. 70.
↑ Posamentier, Salkind, 1996 , s. 177-188.

Litteratur

H.S.M. Coxeter , S.L. Greitzer . Geometri Revisited . — Washington, DC: Mathematical Association of America , 1967. — ISBN 0-883-85619-0 .
James E. Lightner. Et nyt blik på 'centrene' i en trekant // Matematiklæreren . - 1975. - T. 68 , no. 7 . — S. 612–615 . — .
Ross Honsberger. Episoder i det nittende og tyvende århundredes euklidiske geometri // Mathematical Association of America. - 1995. - S. 13 , 137 .
Vladimir Karapetoff. Nogle egenskaber ved korrelative toppunkter i en plan trekant // American Mathematical Monthly. - 1929. - Udgave. 36 . — S. 476–479 .
Indika Shameera Amarasinghe. En ny sætning om enhver retvinklet Cevian Trekant // Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions. - 2011. - T. 24 (02) . — S. 29–37 .
Roger A. Johnson. Avanceret euklidisk geometri . - Dover Publ., 2007. - S. 70 . (original - 1929),
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind«. Udfordrende problemer i geometri. — 2. — Dover Publishing Co., 1996.