Feuerbachs sætning

Feuerbachs sætning  er et resultat af en trekants geometri . Sætningen blev formuleret og bevist af Carl Wilhelm Feuerbach i 1822 .

Ordlyd

Cirklen med ni punkter i en vilkårlig trekant rører ved denne trekants incirkel og alle tre excirkler .

Noter

• Punkter med parvis tangency af en incircle og tre exccircles med en cirkel på ni punkter kaldes Feuerbach-punkter .
• Hvert Feuerbach-punkt ligger ved tangentpunktet for et par tilsvarende cirkler på linjen, der forbinder deres centre, i en afstand af de tilsvarende radier fra deres centre.
• I en ligesidet trekant rører cirklen med ni punkter ikke, men falder sammen med den indskrevne cirkel.

• Tre berøringspunkter for de tre cirkler i en trekant med dens ni-punkts cirkel danner den såkaldte Feuerbach-trekant for denne trekant.

• Feuerbach-punktet F i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centres er identificeret som punkt (midt) X(11).

Om beviser

Mere end 300 beviser for denne teorem er blevet fundet, hvoraf mange bruger inversion. En af dem (besværlig) tilhører Feuerbach selv. Det kortest kendte bevis bruger Caseys inverse sætning [1] .

Relaterede udsagn

• En Feuerbach-hyperbel  er en afgrænset hyperbel, der passerer gennem ortocentret og midten af ​​den indskrevne cirkel . Dens centrum ligger ved Feuerbach-punktet. Poder- og cevianske cirkler af punkter på Feuerbach-hyperbelen passerer gennem Feuerbach-punktet. Især passerer en cirkel gennem Feuerbach-punktet , trukket gennem halveringslinjerne . [2] [3]

• Feuerbach-punktet F ligger på linjen, der forbinder centrene i to cirkler: Euler-cirklen og den indskrevne cirkel, som definerer den.
• Lad , og være afstandene fra Feuerbach-punktet F til spidserne af den midterste trekant (en trekant med spidser i midtpunkterne af siderne af denne trekant). Derefter [4] .

• Dette udsagn svarer til, at den største af de tre afstande er lig med summen af ​​de to andre. Det vil sige, at en analog af egenskaberne i Mavlos sætning ikke er for buer, men for segmenter.

En lignende sammenhæng findes også i afsnittet: " Pompejus sætning ".

• Flere nye sætninger om Feuerbach-punktet F kan findes i F. Ivlev [5] .

Noter

1. ↑ Casey, 1866 , s. 411.
2. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 105.
3. ↑ Dan Pedoe . Circles: A Mathematical View, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1995.
4. ↑ Weisstein, Eric W. Feuerbach Point  på Wolfram MathWorld- webstedet .
5. ↑ Ivlev F. Flere linjer gennem Feuerbach-punktet / Matematisk uddannelse, ser. 3, nr. 15, 2011, s. 219-228

Litteratur

• Dm. Efremov, Ny trekantgeometri . (1902)
• Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nye møder med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
• Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 49-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Feuerbach punkt. https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point
• Feuerbach point (engelsk). http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/feuer.html
• Thébault, Victor (1949), On the Feuerbach points , American Mathematical Monthly bind 56: 546–547 , DOI 10.2307/2305531 
• Emelyanov, Lev & Emelyanova, Tatiana (2001), En note om Feuerbach-punktet, Forum Geometricorum bind 1: 121-124 (elektronisk) 
• Suceavă, Bogdan & Yiu, Paul (2006), Feuerbach-punktet og Euler-linjerne, Forum Geometricorum bind 6: 191–197 
• Vonk, Jan (2009), Feuerbach-punktet og refleksioner af Euler-linjen, Forum Geometricorum bind 9: 47–55 
• Nguyen, Minh Ha & Nguyen, Pham Dat (2012), Syntetiske beviser for to teoremer relateret til Feuerbach-punktet, Forum Geometricorum bind 12: 39–46 
• John Casey. Om ligningerne og egenskaberne: (1) af systemet af cirkler, der berører tre cirkler i et plan; (2) af systemet af sfærer, der berører fire sfærer i rummet; (3) af systemet af cirkler, der berører tre cirkler på en kugle; (4) af System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1866. - Nr. 9 . - S. 396-423 . — .