Enhed kvadrat

Et enhedskvadrat  er et kvadrat , hvis side er et enhedssegment . Enhedsfirkanten er en arealenhed . Nogle gange kræves det, at i rektangulære koordinater vil det nederste venstre hjørne af enhedskvadratet være ved koordinaternes begyndelse, og dets sider vil være parallelle med koordinatakserne. I dette tilfælde har dens hjørner koordinater , , og .

Definitioner

Ofte betyder et enhedskvadrat ethvert kvadrat med siden 1.

Hvis et rektangulært koordinatsystem er givet , så bruges dette udtryk ofte i en snævrere betydning: en enhedskvadrat er et sæt punkter, hvis koordinater ( x og y ) ligger mellem 0 og 1 :

Med andre ord er enhedskvadraten det direkte produkt I × I , hvor I  er enhedssegmentet .

I den komplekse plan betyder et enhedskvadrat et kvadrat med hjørnerne 0 , 1 , 1 + i og i [1] .

Arealenhed

Enhedskvadraten er en måleenhed for arealet af en figur. At måle arealet af en figur betyder at finde forholdet mellem arealet af figuren og arealet af en enhedskvadrat, det vil sige, hvor mange gange en enhedskvadrat kan lægges i en given figur [2] . Der er al mulig grund til at tro, at området blev bestemt af det gamle Babylons matematik [3] . I " principperne " havde Euklid ikke en længdeenhed, hvilket betyder, at der ikke var noget begreb om en enhedskvadrat. Euklid målte ikke arealer med tal, i stedet betragtede han forholdet mellem arealer og hinanden [4] .

Egenskaber

• Arealet af et enhedskvadrat er 1, omkredsen  er 4, og diagonalen  er .
• Enhedskvadraten er en "cirkel" med diameter 1 i betydningen den ensartede norm ( ), det vil sige det sæt af punkter, der er placeret i en afstand på 1/2 i betydningen af ​​den ensartede norm fra centrum med koordinater (1/2, 1/2) er en enhedskvadrat [5 ] .
• Cantor beviste, at der er en en-til-en overensstemmelse mellem enhedssegmentet og enhedsfirkanten. Dette faktum er så kontraintuitivt, at Cantor skrev til Dedekind i 1877 : "Jeg ser det, men jeg tror det ikke" [6] [7] .
• En endnu mere overraskende kendsgerning blev opdaget af Peano i 1890: det viser sig, at der er en kontinuerlig kortlægning af et segment på en firkant. Et eksempel på en sådan kortlægning er Peano-kurven , det første eksempel på en rumudfyldende kurve. Peano-kurven angiver en kontinuerlig afbildning af et enhedssegment på en firkant, således at der for hvert punkt i kvadratet er et tilsvarende punkt i segmentet [8] .
• Der er dog ingen en-til- en kontinuerlig kortlægning fra et segment til et kvadrat. Peano-kurven indeholder flere punkter, det vil sige, at den passerer gennem nogle punkter på firkanten mere end én gang. Peano-kurven definerer således ikke en en-til-en- korrespondance . Faktisk er det let at bevise, at et segment ikke er homøomorft til et kvadrat, hvilket betyder, at det er umuligt at undgå flere punkter [9] .

Åben udgave

Det vides ikke (fra 2011), om der eksisterer et punkt i planet, således at afstanden til et hvilket som helst hjørne af enhedskvadraten er et rationelt tal . Det er dog kendt, at et sådant punkt ikke eksisterer på grænsen af ​​kvadratet [10] [11] .

Se også

• enhedssfære
• enhedscirkel
• enhed terning

Noter

1. ↑ Weisstein, Eric W. Unit Square  på Wolfram MathWorld -webstedet .
2. ↑ Valery Gusev, Alexander Mordkovich. Matematik: en uddannelses- og referencevejledning . Liter, 2016-06-10. - S. 436. - 674 s. — ISBN 9785457404793 .
3. ↑ Peter Strøm Rudman. Hvordan matematik skete: De første 50.000 år . — Prometheus-bøger, 2007-01-01. - S. 108. - 316 s. — ISBN 9781615921768 .
4. ↑ Saul Stahl. Geometri fra Euklid til knob . — Courier Corporation, 2012-05-23. — S. 99-100. — 481 s. — ISBN 9780486134987 .
5. ↑ Athanasios C. Antoulas. Tilnærmelse af store dynamiske systemer . — SIAM, 2009-06-25. - S. 29. - 489 s. — ISBN 9780898716580 .
6. ↑ Sergey Demenok. Fraktal: Mellem myte og håndværk . - Liter, 2016-06-08. - S. 156. - 298 s. — ISBN 9785040137091 .
7. ↑ Michael J. Bradley. Matematikkens grundlag: 1800 til 1900 . - Infobase Publishing, 2006. - S. 104-105. — 177 s. — ISBN 9780791097212 .
8. ↑ Sergei Sizy. Matematik problemer. Studentolympiader ved Fakultetet for Matematik og Mekanik ved Ural State University . - Liter, 2016-04-14. - S. 34. - 128 s. — ISBN 9785040047086 . Arkiveret 7. april 2022 på Wayback Machine
9. ↑ Alexander Shen, Nikolai Vereshchagin. Forelæsninger om matematisk logik og teori om algoritmer. Del 1. Begyndelse af mængdelære . Liter, 2015-11-13. - S. 19. - 113 s. — ISBN 9785457918795 . Arkiveret 7. april 2022 på Wayback Machine
10. ↑ Guy, Richard K. (1991), Unsolved Problems in Number Theory, Vol. 1 (2. udg.), Springer-Verlag, s. 181-185  .
11. ↑ Barbara, Roy (marts 2011), The rational distance problem , Mathematical Gazette vol . 95(532): 59-61 , < http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 > dateret december 24, 2015 på Wayback Machine . 

Links

• Weisstein, Eric W. Unit Square  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .