Flisebelægning (geometri)

Parket eller flisebelægning - opdeling af et plan i polygoner eller rum i polyedre uden mellemrum og lag.

Ud over parketter på det euklidiske plan betragtes "parketter" i matematik på kuglen , det hyperbolske plan , i tredimensionelt og multidimensionelt rum.

Terminologi

Flisebelægning, mosaikker, parketgulve, skillevægge

Parketter kaldes ellers flisebelægninger , mosaikker ( engelsk  tessellation, fliselægning ), skillevægge af flyet ( engelsk  skillevæg ), parketgulve . Flisebelægninger af tredimensionelt rum og rum af højere dimensioner kaldes ofte honeycombs .

På side 16 i Grünbaum og Shepard 's Tilings and Patterns (1987) 2] er følgende note:

I matematisk litteratur bruges ordene tessellation , brolægning , mosaik og parketlægning i flæng eller med lignende betydninger. De tyske ord for mosaik er Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung og Zerlegung ; franske ord - pavage , carrelage og dallage ; Russiske ord - parket , opdeling og flisebelægning .

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] I matematisk litteratur bruges ordene tessellation , brolægning , mosaik og parketlægning synonymt eller med lignende betydninger. De tyske ord for flisebelægning er Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung og Zerlegung . De franske ord er pavage , carrelage og dallage . De russiske ord er parket , opdeling og flisebelægning .

Parketter med områder (fliser) af vilkårlig form kaldes nogle gange kort (se f.eks. firefarvesætningen ).

Belægninger og emballage

Hvis foreningen af ​​flere figurer indeholder en given figur Φ , så siges disse figurer at danne en dækning af figuren Φ . I dette tilfælde kan dækfigurerne overlappe hinanden, men de dækker F -figuren uden mellemrum.

Pakning er placeringen inde i en given figur af flere figurer, der ikke har fælles punkter, undtagen måske grænse (dvs. uden overlapning).

En tessellation er en opdeling af en figur i dele. En flisebelægning er både en belægning og en pakning [2] [3] .

Protopiler

Parketprototiler ( engelske  prototiler , også prototyper [4] ) er fliser (former), der indgår i parketten. Hver parketflise er kongruent med en af ​​prototilerne [5] .

Så den eneste prototil af en sekskantet parket er en almindelig sekskant; prototilet af en regulær sfærisk femkantet parket er en femkant ; sættet af protopiler af en rhombotrihexagonal parket består af en ligesidet trekant, en firkant og en sekskant .

En parket kaldes k -hedral hvis sættet af dets prototiler ( protoset ) består af k fliser [2] [4] .

Parketfliser kaldes også flader , og siderne af polygonale fliser kaldes kanter , analogt med terminologien for polyedre [6] .

Vertex- og ansigtskonfigurationer

Rhombotrihexagonal parket består af tre typer fliser: ligesidet trekant, firkant og sekskant . Disse fliser er arrangeret rundt om hvert af hjørnerne i følgende rækkefølge: trekant, firkant, sekskant, firkant. Denne ordre kaldes parkettopkonfigurationen og er skrevet i formen 3.4.6.4. Hvis to eller flere tal i denne rækkefølge er i en række, bruges en forkortet notation: en trekantet parket kan betegnes som 3.3.3.3.3.3 eller som 3 6 . I dette tilfælde angiver indtastninger, der kun adskiller sig i en cyklisk permutation af tal eller en ændring i rækkefølgen af ​​indtastningen til det modsatte (f.eks. 3.3.4.3.4 og 4.3.3.4.3), den samme toppunktskonfiguration; samtidig svarer 3.4.4.6 ikke til 3.4.6.4 [4] [7] [8] [9] [10] .

I heterogene parketgulve kan der forekomme hjørner med forskellige konfigurationer.

Konfigurationen af ​​et ansigt er sekvensen af ​​grader af hjørnerne af dette ansigt, når man går rundt om det i én retning. Ansigtskonfiguration skrives som en talfølge i firkantede parenteser [2] eller foran med V.

Hvis alle hjørner af en eller anden parket har den samme konfiguration med notationen a 1 .a 2 ....a k , så har alle siderne af dens dobbelte parket den samme konfiguration med notationen Va 1 .a 2 ....a k . For eksempel er fladekonfigurationerne af parketten dobbelt til den rombiske trihexagonale parket 3.4.6.4  skrevet som V3.4.6.4.

Typer af parket

I mange tilfælde accepteres betingelsen om, at hver af parketprototilerne svarer til en topologisk skive ; med andre ord skal flisen ikke bestå af flere dele ( quasi-polyomino [11] ), indeholde "huller", være en endeløs strimmel osv. [2] [4] .

Flade parketgulve

Korrekt parketgulve

Parketter opbygget af identiske regulære polygoner kaldes regulære parketter ( eng.  regular flisebelægninger ). Der er tre almindelige flisebelægninger af planet: trekantet parket , firkantet parket og sekskantet parket [9] [12] [13] .

Almindelige parketter kaldes også platonske parket [14] .

Polyformer placeret på almindelige parketgulve kaldes henholdsvis polyamonds , polyominoes og polyhexes .

Schläfli-symbolet { p , q } bruges til at betegne en parket af regelmæssige p - goner arrangeret q rundt om hvert toppunkt . Schläfli-symbolerne for de tre regulære fliser er {3,6}, {4,4} og {6,3} [6] .

Semi-regulære parketgulve

Parketter bestående af regulære polygoner af to eller flere typer, sådan at der for alle to hjørner af parketten er en symmetritransformation (selvsammenfald), der transformerer den ene af dem til den anden, kaldes semiregulære flisebelægninger eller arkimediske parketgulve [9] [ 15 ] [16] [17] .  

Der er 8 semi-almindelige parketgulve [7] [10] [12] [16] [17] . En af de otte semi-regulære parketgulve ( trihexagonal parket med snub-nosed ) er chiral , det vil sige, at den ikke falder sammen med sit eget spejlbillede [4] [7] [16] [17] .

Der er to definitioner, der fører til det samme sæt af 8 semi-regulære parketgulve på flyet.

Den første, "lokale" definition, er, at vertex-konfigurationerne for alle toppunkter skal matche. Med andre ord skal sekvenserne af ansigter omkring alle to hjørner af parketten være den samme: de samme polygoner skal gå i samme (eller modsatte) rækkefølge.

Den anden, "globale" definition, kræver, at der for alle to hjørner af parketten eksisterer en symmetritransformation (selvkombination af parketten), der oversætter den ene af dem til den anden.

Grünbaum og Shepard deler udtrykkene "Archimedean parket" ( engelsk  Archimedean flisebelægning ) og " homogen parket " ( engelsk  uniform flisebelægning ): den første gruppe omfatter parketgulve svarende til den "lokale" definition, og den anden - "global". Selvom disse to sæt falder sammen på det euklidiske plan , er der i andre rum arkimedeiske parketgulve, der ikke er homogene [2] .

I den matematiske litteratur varierer betydningen af ​​begreberne "Arkimedean parket", "semi-regular parket" og "homogen parket".

Kvasi-almindelige parketgulve

Kvasi-regulær parket (eller polyeder) ( engelsk  quasiregular flisebelægning ) - en homogen parket (eller polyhedron), der består af flader af to typer, vekslende omkring hvert toppunkt; med andre ord er hvert ansigt omgivet af ansigter af forskellig type [18] [19] [20] .

Der er kun én quasi-regulær parket på det euklidiske plan - en trihexagonal parket med top-konfiguration 3.6.3.6. Der er to quasi-regulære parketgulve ( sfæriske polyeder ) på kuglen - cuboctahedron og icosidodecahedron .

På Lobachevsky-planet er der et uendeligt sæt quasi-regulære parketgulve af den form, hvor

Heterogene parketgulve

Der er et uendeligt antal uensartede ( engelske  non-uniform ) parketgulve, bestående af regulære polygoner.

  • Ikke-homogene parketgulve fra almindelige polygoner

  • 3 2 .6 2 , 3 6

  • 3 2 .6 2 , 3.6.3.6

  • 3 2 .4.12, 3 6

  • 3.4 2.6 , 3.6.3.6

Periodiske inhomogene parketgulve kan klassificeres efter antallet af kredsløb af hjørner, kanter og flader. Hvis antallet af vertex-baner er lig med n , kaldes parketten n -uniform ( engelsk  n-uniform ) eller n -isogonal; hvis antallet af kantbaner er n - n - isotoxal ( eng.  n -isotoxal ). Ovenstående eksempler er fire ud af tyve 2-homogene parketgulve [2] [9] [21] .


Ikke-periodiske parketgulve og aperiodiske sæt fliser

En partition T kaldes periodisk , hvis der blandt symmetrierne af T er to parallelle translationer i ikke-parallelle retninger. I dette tilfælde kan mosaikken betragtes som bestående af gentagelser af et lille fragment, lagt ud fra elementer ved noderne af et gitter. Sættet af prototyper (protosæt) P kaldes aperiodisk , hvis det er realiseret i nogle partitioner af planet, men ingen af ​​disse partitioner er periodiske [4] .

Det første eksempel på et aperiodisk sæt fliser blev fundet af Robert Berger i 1966 og omfattede 20.426 Wang-fliser [2] [24] . Wangs fliser er firkanter af samme størrelse med malede sider; når man bygger en mosaik, er det tilladt at kombinere fliser med kun ensfarvede sider og det er forbudt at vende fliserne.

Senere blev der fundet aperiodiske protosetter med færre fliser. Roger Penrose opdagede aperiodiske protosetter bestående af to fliser [2] [23] [25] .

I 2010 foreslog Joshua Socolar og John Taylor et aperiodisk sæt bestående af en enkelt flise , som er en regulær sekskant markeret med farvede linjer og med yderligere begrænsninger relateret til den relative position af ikke - rørende fliser [26] . Der er en modifikation, der ikke bruger sådanne begrænsninger, men bruger en frakoblet flise, dvs. en flise der ikke er en topologisk disk . Eksistensen af ​​en enkelt tilsluttet flise uden yderligere markeringer og begrænsninger, der kun er i stand til at dække planet periodisk, forbliver et åbent problem [26] [27] .

Sfæriske polyedre

En sfærisk parket eller et sfærisk polyeder er en opdeling af en sfære i sfæriske polygoner af buer af storcirkler [28] .

Hver af de 5 platoniske faste stoffer svarer til en almindelig kugleformet parket. Formelt set, lad S være en kugle med centrum O , der falder sammen med midten af ​​polyederet P . De stråler, der trækkes fra O , der passerer gennem hjørnerne af polyederet P , skærer kuglen S i punkter, der er hjørnerne af den tilsvarende sfæriske parket; kanterne af polyederet P svarer til buer af storcirkler på S .

Ud over de sfæriske analoger af de fem "platoniske faste stoffer" er der to familier af regulære sfæriske polyedre, der ikke har ækvivalenter blandt polyedre med flade flader: osohedra - polyedre med to hjørner placeret ved kuglens poler, hvis ansigter er kongruente digoner og dihedra - dihedra dual til osohedra, hvis toppunkter er ved kuglens ækvator.

Hyperbolske parketter

Euklids aksiom for parallelisme (mere præcist, et af dets tilsvarende udsagn) siger:

Gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, går der højst én linje, der ligger med den givne linje i samme plan og ikke skærer den.

I Lobachevsky geometri accepteres følgende aksiom i stedet:

Gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, passerer der mindst to linjer, der ligger med den givne linje i samme plan og ikke skærer den.

Til at afbilde et hyperbolsk plan bruges en af ​​de eksisterende modeller - Beltrami-Klein- modellen , Poincaré -konforme skiven , Poincaré-modellen på halvplan [29] .

På det euklidiske plan er der kun tre almindelige parketter og 8 semi-regulære parketter. Der er et uendeligt antal jævne regulære parketter på det hyperbolske plan, inklusive parketter med syv eller flere ligesidede trekanter omkring et toppunkt, fem eller flere firkanter, fire eller flere regulære femkanter (en parket med tre femkanter omkring et toppunkt er et sfærisk dodekaeder ) , fire eller flere regulære sekskanter og tre eller flere lige store regulære polygoner med mere end 6 sider.

Problemer på parket

Et stort antal opgaver og puslespil er forbundet med opdelingen af ​​rektangler (eller andre forbundne former) i fliser fra et bestemt givent sæt af prototiler. I dette tilfælde kan prototilerne selv forbindes kombinationer af celler af en almindelig parket .

Især er der en klasse af problemer ved tessellering af m  ×  n rektangler med domino - fliser på en sådan måde, at der i den resulterende skillevæg ikke er nogen ret linje, der skærer rektanglet fra kant til kant og ikke skærer nogen domino-fliser; sådanne rektangler kaldes "stærke" [4] [11] [30] .

I andre opgaver er der fastsat en yderligere begrænsning på antallet af fliser af hver type anvendt i fliselægningen. I problemer relateret til pentominoer kræves det at dække med 12 figurer en given delmængde af en kvadratisk parket, bestående af 60 celler (rektangler 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, et skakbræt med en kvadratisk tetramino skæres ud i midten osv.); dog skal hver flise bruges præcis én gang [11] [30] .

Optælling af parketter

Problemet med at bestemme antallet af parketgulve bestående af konvekse polygoner af en given type er kun delvist løst:

  • Enhver trekant eller firkant kan flise planet [4] [31] [32] .
  • Der er 15 kendte femkanter, der er i stand til at flisebelægge et fly; det vides ikke, om denne liste er komplet [1] . Problemet med at opregne femkantede parketgulve har en rig historie [4] , og kan allerede være løst [33] [34] .
  • Der er 3 kendte typer sekskanter, der er i stand til at flisebelægge et plan [4] [35] .
  • Det er ikke muligt at flisebelægge et plan med identiske konvekse polygoner med mere end eller lig med syv sider [4] [36] .

Se også

Noter

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Pentagon Tiling  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B. Grünbaum , G. C. Shephard. Flisebelægning og mønstre . — New York: W.H. Freeman & Co., 1987. — ISBN 0-7167-1193-1 .
  3. ↑ Sådan løses ikke-standardopgaver / Red. V. O. Bugaenko. - M. : MTSNMO , 2008. - S. 49. - 96 s. - ISBN 978-5-94057-331-9 .
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 David A. Klarner . Matematisk blomsterhave.
  5. ↑ Prototil . Encyclopedia of Mathematics. Hentet 12. august 2013. Arkiveret fra originalen 2. september 2013.
  6. ↑ 1 2 Coxeter, Introduction to Geometry, 1966, §6, s. 100 - 104.
  7. ↑ 1 2 3 Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Matematiske  modeller . - 2. udg. - Oxford University Press, 1961. - S. 59-65.
  8. ↑ Paul Burke. Uniform polyedre . Hentet 12. august 2013. Arkiveret fra originalen 2. september 2013.
  9. ↑ 1 2 3 4 Chavey, D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings  (ubestemt)  // Computere og matematik med applikationer . - 1989. - T. 17 . - S. 147-165 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
  10. ↑ 1 2 Hvad er en tessellation? . Matematik forum. Hentet 12. august 2013. Arkiveret fra originalen 2. september 2013.
  11. ↑ 1 2 3 Golomb S.V. Polyomino \u003d Polyominoes / Pr. fra engelsk. V. Firsova. Forord og udg. I. Yagloma. — M .: Mir, 1975. — 207 s.
  12. ↑ 1 2 Encyklopædi for børn. T. 11. Matematik / Kapitel. udg. M. D. Aksenova; metode. og hhv. udg. V. A. VOLODIN - M . : Avanta + , 2003. - S. 297-300. — 688 s. — ISBN 5-94623-072-7 .
  13. ↑ Weisstein, Eric W. Regular Tessellation  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  14. ↑ Steven Gillispie. De platoniske plane flisebelægninger . Arkiveret fra originalen den 26. oktober 2008.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. Semiregular Tessellation  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
  16. ↑ 1 2 3 Steven Dutch. Archimedean Tilings (2. juli 1999). Arkiveret fra originalen den 20. januar 2013.
  17. ↑ 1 2 3 John Baez. Arkimediske flisebelægninger og egyptiske brøker . Azimuth (5. februar 2012). Hentet 12. august 2013. Arkiveret fra originalen 2. september 2013.
  18. ↑ M. Wenninger. Polyhedra Models = Polyhedron Models / Oversat fra engelsk af V. V. Firsov, redigeret og med et efterord af I. M. Yaglom. — M .: Mir, 1974. — 236 s.
  19. ↑ George Hart. Kvasi-regulære polyeder . Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Hentet 19. august 2013. Arkiveret fra originalen 2. september 2013.
  20. ↑ HSM Coxeter. Almindelige  polytoper . - 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
  21. ↑ Steven Dutch. Uniform Fliselægning (2. juli 1999). Arkiveret fra originalen den 20. januar 2013.
  22. ↑ Penrose R. (1979/80), Pentaplexity , Math. Intel. Vol. 2: 32–37 , < http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html > Arkiveret 7. juni 2011 på Wayback Machine (arkiveret på) 
  23. ↑ 12 David Austin . Penrose Tiles Talk På tværs af Miles . Feature Column fra AMS. Hentet 18. august 2013. Arkiveret fra originalen 2. september 2013.
  24. ↑ Burger, R. The Undecidability of the Domino Problem  //  Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - Bd. 66 . - S. 1-72 .
  25. ↑ R. Penrose (link utilgængeligt) . Tilings Encyclopedia. Hentet 13. august 2013. Arkiveret fra originalen 2. september 2013. 
  26. ↑ 1 2 Socolar J. En aperiodisk sekskantet flise  (ubestemt) . - . - arXiv : 1003.4279 .
  27. ↑ Socolar og Taylors aperiodiske flise . Maxwells Dæmon. Hentet 18. august 2013. Arkiveret fra originalen 2. september 2013.
  28. ↑ Weisstein, Eric W. Spherical Polyhedron  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  29. ↑ Coxeter, Introduction to Geometry, 1966, kap. 16, s. 415 - 440.
  30. ↑ 1 2 Martin Gardner . Matematiske gåder og underholdning = Matematiske gåder og afledninger / Pr. Yu. A. Danilova , red. Ya. A. Smorodinsky . - 2. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  31. ↑ Weisstein, Eric W. Triangle Tiling  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  32. ↑ Weisstein, Eric W. Quadrilateral Tiling  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  33. ↑ Michael Rao . Udtømmende søgning af konvekse femkanter, der beklæder flyet Arkiveret 2. august 2017 på Wayback Machine
  34. ↑ Matematiker fandt alle parketpolygoner
  35. ↑ Weisstein, Eric W. HexagonTiling  på Wolfram MathWorld -webstedet .
  36. ↑ Weisstein, Eric W. Tiling  på Wolfram MathWorld- webstedet .

Litteratur

  • A. N. Kolmogorov . Parket fra almindelige polygoner  // Kvant . - 1970. - Nr. 3 .
  • Yu. A. Shashkin. Parket  // MIF. - 1998-99. - Nr. 3 .
  • O. Mikhailov. Elleve almindelige parketter  // Kvant . - 1979. - Nr. 2 . Arkiveret fra originalen den 22. maj 2013.
  • David A. Klarner . Matematisk blomsterhave. Samling af artikler og opgaver = Den matematiske Gardner / Pr. fra engelsk. Yu. A. Danilova ; red., med forord. og app. I. M. Yagloma . - M .: Mir, 1983. - S. 153-328. — 494 s.
  • G.S.M. Coxeter . Introduktion til geometri \u003d Introduktion til geometri / Pr. fra engelsk. A. B. Katka og S. B. Katok; udg. B. A. Rosenfeld og I. M. Yaglom. — M .: Nauka, 1966. — 648 s.
  • Grünbaum, Branko ; Shephard, G.C. Flisebelægninger og mønstre  (ubestemt) . — W. H. Freeman og Kompagni, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .

Links