Kugle
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. december 2021; checks kræver 8 redigeringer .Kugle ( anden græsk σφαῖρα " kugle , kugle [1] ") er stedet for punkter i rummet lige langt fra et givet punkt ( sfærens centrum ).
Afstanden fra et punkt på en kugle til dens centrum kaldes kuglens radius . En kugle med radius 1 kaldes enhedssfæren .
Egenskaber
En kugle er en omdrejningsflade dannet ved at dreje en halvcirkel rundt om dens diameter .
En kugle er et specialtilfælde af en ellipsoide , hvor alle tre akser (halvakser, radier) er lige store.
En kugle er overfladen af en kugle .
En kugle har det mindste areal af alle overflader, der afgrænser et givet volumen, med andre ord, af alle overflader med et givet areal, afgrænser en kugle det største volumen. Det er på grund af minimeringen af overfladearealet ved overfladespændingens kraft, at små vanddråber i vægtløshed får en sfærisk form.
Betydning i naturvidenskab
Perfektionen af den sfæriske form har længe tiltrukket sig opmærksomhed fra tænkere og videnskabsmænd, der ved hjælp af sfærer forsøgte at forklare harmonien i den omgivende verden. Den antikke græske videnskabsmand Pythagoras introducerede sammen med den kugleformede Jord i universets centrum en fjern krystalkugle, der omgiver Jorden, som stjernerne er knyttet til, og syv tættere roterende krystalkugler, hvortil Solen, Månen og fem planeter kendt på det tidspunkt (undtagen Jorden) er knyttet. Denne model blev efterfølgende mere kompliceret: Eudoxus fra Cnidus overvejede allerede 27 sådanne sfærer, og Aristoteles - 55 krystalkugler [2] . Ideer om de roterende himmelsfærer dominerede i hvert fald indtil middelalderen og kom endda ind i det heliocentriske system af Nicolaus Copernicus ' verden , som kaldte sit hovedværk " Om himmelsfærernes rotation " ( lat. De revolutionibus orbium coelestium ).
Himmelsfærer siden oldtidens Grækenland var en del af et mere generelt begreb om sfærernes harmoni om den musikalske og astronomiske struktur i verden, som også omfattede begrebet "sfærernes musik". Dette koncept eksisterede også i hvert fald indtil middelalderen. For en af de mest berømte astronomer, Johannes Kepler , indtog sfæren en central plads i hele hans system af religiøse og mystiske ideer, han skrev: ”Billedet af den treenige gud er en sfærisk overflade, nemlig: gud faderen i centrum , gud sønnen på overfladen og den hellige ånd er i et symmetrisk forhold mellem centrum og den sfæriske overflade beskrevet omkring den” [3] [4] . Et af Keplers første betydningsfulde skrifter, " The Secret of the Universe " ( lat. Mysterium Cosmographicum ), var viet til parametrene for de himmelske sfærer, Kepler mente, at han opdagede en bemærkelsesværdig forbindelse mellem regulære polyedre , hvoraf der kun er fem, og himmelsfærerne på de seks planeter kendt på det tidspunkt (inklusive Jorden), som ifølge Kepler er de omskrevne og indskrevne sfærer af disse polyedre. Ideen om sfærernes harmoni spillede en stor rolle i Keplers opdagelse af himmellegemernes tredje lov om bevægelse (i alle tilfælde kan de betragtes som et incitament til at søge efter astronomiske sammenhænge) [5] . Men for Kepler var himmelsfærerne allerede rent matematiske objekter og ikke fysisk eksisterende legemer. På det tidspunkt havde Tycho Brahe vist, at kometernes bevægelse , især den store komet fra 1577, var uforenelig med eksistensen af faste himmelsfærer [6] . Som en bekvem matematisk model forblev en himmelkugle , ved hjælp af hvilken astronomer den dag i dag repræsenterer stjerners og planeters tilsyneladende positioner.
Kugle i 3D-rum
Ligningen for en kugle i et rektangulært koordinatsystem er :
hvor er koordinaterne for kuglens centrum, er dens radius.
Parametrisk ligning for en kugle centreret i et punkt :
hvor og
![\theta \i [0,\pi ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c833964ea08aa30df8b6f56664461a5499b38144)
Den Gaussiske krumning af en kugle er konstant og lig med 1/ R² .
Koordinater for en kugle, der går gennem givne punkter
Gennem fire punkter i rummet kan der kun være én kugle med centrum
hvor:
![{\displaystyle A_{x}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[y_{2}(z_{3}-z_{4 })+y_{3}(z_{4}-z_{2})+y_{4}(z_{2}-z_{3})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98aeceefde815d50b9c88071fd5af521cebcbd9b)
![{\displaystyle B_{x}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[y_{3}(z_{4}-z_{1 })+y_{4}(z_{1}-z_{3})+y_{1}(z_{3}-z_{4})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8fd51ac73a6f9738ad21bab83bc95106a37419)
![{\displaystyle C_{x}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[y_{4}(z_{1}-z_{2 })+y_{1}(z_{2}-z_{4})+y_{2}(z_{4}-z_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8949e7118a516802283f47c40671877d166e202d)
![{\displaystyle D_{x}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[y_{1}(z_{2}-z_{3 })+y_{2}(z_{3}-z_{1})+y_{3}(z_{1}-z_{2})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb66cc2d861cb44c430b1d4d444669e7d64ac50)
![{\displaystyle A_{y}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[z_{2}(x_{3}-x_{4 })+z_{3}(x_{4}-x_{2})+z_{4}(x_{2}-x_{3})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0596cda990bc94b1c25e2dd59597025782fff0bc)
![{\displaystyle B_{y}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[z_{3}(x_{4}-x_{1 })+z_{4}(x_{1}-x_{3})+z_{1}(x_{3}-x_{4})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7dda4bc308cb263a2b6fad07eee8b52afec515)
![{\displaystyle C_{y}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[z_{4}(x_{1}-x_{2 })+z_{1}(x_{2}-x_{4})+z_{2}(x_{4}-x_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e51cd29b0a770dbee0da4ecae0485674fb0147)
![{\displaystyle D_{y}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[z_{1}(x_{2}-x_{3 })+z_{2}(x_{3}-x_{1})+z_{3}(x_{1}-x_{2})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a4d722990be4e16b53049151c2c60670fe1f9a)
![{\displaystyle A_{z}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[x_{2}(y_{3}-y_{4 })+x_{3}(y_{4}-y_{2})+x_{4}(y_{2}-y_{3})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e18121f2b8cbbc0ba2a2471618f1595185f5dc)
![{\displaystyle B_{z}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[x_{3}(y_{4}-y_{1 })+x_{4}(y_{1}-y_{3})+x_{1}(y_{3}-y_{4})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf9dd4dead678b833a04a999c97feb8f9357d4b)
![{\displaystyle C_{z}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[x_{4}(y_{1}-y_{2 })+x_{1}(y_{2}-y_{4})+x_{2}(y_{4}-y_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5b67f4a5c22bce5874484e51f088679438eef3)
![{\displaystyle D_{z}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[x_{1}(y_{2}-y_{3 })+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d904f3b36dc6b2cd7249cca7db350f3895ef61b6)
Radius af denne kugle:
Grundlæggende geometriske formler
Overfladeareal af en kugle Fuld rumvinkel af en kugle steradian sq. grader. Rumfanget af en kugle afgrænset af en kugle Højde kugle segment område .
Geometri på en kugle
En cirkel, der ligger på en kugle, hvis centrum falder sammen med kuglens centrum, kaldes kuglens storcirkel (storcirkel). Store cirkler er geodætiske linjer på kuglen; to af dem skærer hinanden i to punkter. Med andre ord er kuglens store cirkler analoger af lige linjer på planet, afstanden mellem punkter på kuglen er længden af den store cirkels bue, der passerer gennem dem. Vinklen mellem linjerne på planet svarer til den dihedrale vinkel mellem storcirklernes planer. Mange geometriske sætninger på planet er også gyldige i sfærisk geometri, der er analoger til sinussætningen , cosinussætninger for sfæriske trekanter . Samtidig er der mange forskelle, for eksempel i en sfærisk trekant er summen af vinklerne altid større end 180 grader, til trekanters tre lighedstegn tilføjes deres lighed i tre vinkler, en sfærisk trekant kan have to eller endda tre rette vinkler - for eksempel en sfærisk trekant dannet af ækvator og meridianerne 0° og 90°.
Afstanden mellem to punkter på en kugle
Givet de sfæriske koordinater for to punkter, kan afstanden mellem dem findes som følger:
Men hvis vinklen ikke er givet mellem Z - aksen og vektoren til sfærens punkt, men mellem denne vektor og XY -planet (som det er sædvanligt i jordkoordinater givet ved bredde- og længdegrad), så vil formlen være som følger:
I dette tilfælde kaldes og breddegrader , og og længdegrader .
n -dimensional kugle
Generelt er ligningen for en ( n −1)-dimensionel kugle (i n - dimensional euklidisk rum ):
hvor er kuglens centrum og a er radius.
Skæringspunktet mellem to n - dimensionelle sfærer er en ( n − 1)-dimensionel sfære, der ligger på disse sfærers radikale hyperplan .
I et n -dimensionelt rum kan ikke mere end n + 1 kugler røre hinanden i par (på forskellige punkter) .
En n - dimensionel inversion tager en ( n −1)-dimensionel kugle til en ( n -1)-dimensionel kugle eller hyperplan .
Et af årtusindets problemer er forbundet med den tredimensionelle sfære - Poincaré-formodningen , som siger, at enhver enkelt forbundet kompakt tredimensionel manifold uden grænse er homøomorf til en sådan sfære. Denne formodning blev bevist af G. Ya. Perelman i begyndelsen af 2000'erne baseret på resultaterne af Richard Hamilton .
Se også
- Riemann sfære
- Pseudosfære
- vild sfære
- hypersfære
- Smales paradoks
- Sfærisk koordinatsystem
- sfærisk lag
- Geosfære
Noter
- ↑ Dvoretskys antikke græsk-russiske ordbog "σφαῖρα" (utilgængeligt link) . Hentet 17. juni 2019. Arkiveret fra originalen 25. marts 2016.
- ↑ Klimishin I. A. Vore dages astronomi . - 3. udg. - M . : Nauka , 1986. - S. 30 -33. — 55.400 eksemplarer.
- ↑ Pauli W. Indflydelsen af arketypiske ideer på dannelsen af naturvidenskabelige teorier af Kepler // Fysiske essays. — M .: Nauka , 1975.
- ↑ Original latinsk tekst af citatet: "Dei trinuni imago in Sphærica superficie, Patris scilicet in centro, Filij in superficie, Spiritus in æqualitate σχέσεως inter punctum & ambitum". Se: Kepler J. Mysterium Cosmographicum (neopr.) . - 1596. - S. 19. Arkivkopi dateret 30. maj 2014 på Wayback Machine
- ↑ Shevchenko V.V. Himmelsk musik // Jorden og universet . - 1973. - Nr. 4 . - S. 56-58 .
- ↑ Tycho Brahe. Selvbiografi // Historisk og astronomisk forskning / Red. udg. L.E. Maistrov. - M . : Nauka , 1984. - T. XVII . - S. 393-394 .
Links
| Kompakte overflader og deres fordybelse i tredimensionelt rum | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Homøoformitetsklassen for en kompakt trianguleret overflade bestemmes af orienterbarhed, antallet af grænsekomponenter og Euler-karakteristikken. | |||||||
| ingen grænse |
| ||||||
| med kant |
| ||||||
| Beslægtede begreber |
| ||||||
 Ordbøger og encyklopædier | |
|---|---|
| I bibliografiske kataloger |
|