Mandelbrot sæt

Mandelbrot- sættet er mængden af sådanne punkter c på det komplekse plan , for hvilke gentagelsesrelationen ved definerer en afgrænset sekvens. Med andre ord er dette mængden af sådan c , for hvilken der findes en reel R , således at uligheden gælder for alle positive heltal n . Definition og navn skyldes Duadi $z_{{n+1}}={z_{n}}^{2}+c$ $z_{0}=0$ $|z_{n}|<R$ , efter matematikeren Benoit Mandelbrot [1] .

Mandelbrot-sættet er en af de mest berømte fraktaler , også uden for matematikken, takket være dens farvegengivelser . Dens fragmenter ligner ikke strengt det originale sæt, men med en flere stigning ligner visse dele mere og mere hinanden.

Den nøjagtige værdi af området af Mandelbrot-sættet er ukendt. For 2012 blev det estimeret til 1,506 591 884 9 ± 2,8 × 10 −9 . Den nøjagtige koordinat for massecentret (placeret på x-aksen) er også ukendt og estimeres til −0,286 768 420 48 ± 3,35×10 −9 [2] .

Udvidet definition

Ovenstående sekvens kan udvides for hvert punkt i det komplekse plan som følger: $c$

{\begin{aligned}c&=x+i\cdot y,\\Z_{0}&=0,\\Z_{1}&=Z_{0}^{2}+c=\\& =x+iy\\Z_{2}&=Z_{1}^{2}+c=\\&=(x+iy)^{2}+x+iy=\\&=x^{2} +2ixy-y^{2}+x+iy=\\&=x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i,\\Z_{3}&=Z_{2}^ {2}+c=\ldots \end{aligned}}

og så videre.

Hvis vi omformulerer disse udtryk som en iterativ sekvens af værdier af koordinaterne for det komplekse plan , det vil sige erstatter med , og med , får vi: $(x, y)$ $z_n$ $x_{n}+i\cdot y_{n}$ $c$ $x_{0}+i\cdot y_{0}$

x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+x_{0},

y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+y_{0}.

Visuelt kan et uendeligt antal elementære figurer skelnes inde i Mandelbrot-sættet, og den største i midten er en cardioid . Der er også et sæt ovaler, der rører ved kardioiden, hvis størrelse gradvist aftager og tenderer til nul. Hver af disse ovaler har sit eget sæt af mindre ovaler, hvis diameter også har en tendens til nul osv. Denne proces fortsætter i det uendelige og danner en fraktal. Det er også vigtigt, at disse forgreningsprocesser af figurer ikke fuldstændig udtømmer Mandelbrot-sættet: Hvis vi overvejer yderligere "grene" med stigende forstørrelse, kan vi se deres kardioide og cirkler i dem, der ikke er forbundet med hovedfiguren. Det største tal (synligt, når man overvejer hovedsættet) af dem er i området fra -1,78 til -1,75 på den negative akse af reelle værdier.

Historien om Mandelbrot-sættet

Mandelbrot-sættet blev først beskrevet i 1905 af Pierre Fatou ( fr. Pierre Fatou ), en fransk matematiker, der arbejdede inden for analytisk dynamik af komplekse tal . Fatou studerede formens rekursive processer

z\to z^{2}+c.

Startende med et punkt i det komplekse plan, kan du få nye point ved successivt at anvende denne formel på dem. En sådan sekvens af punkter kaldes en bane under transformation . $z_{0}$ $z_{0}$ $z\to z^{2}+c$

Fatou fandt ud af, at kredsløbet for den oprindelige tilstand under denne transformation viser en ret kompleks og interessant adfærd. Der er et uendeligt antal af sådanne transformationer - en for hver værdi af c . I de dage var der endnu ingen computere, og Fatou kunne selvfølgelig ikke konstruere banerne for alle flyets punkter, han var nødt til at gøre alt manuelt. Baseret på sine beregninger beviste han, at kredsløbet for et punkt, der ligger i en afstand større end 2 fra oprindelsen, altid går til det uendelige. $z_{0}=0$

Fatou så aldrig de billeder, som vi nu kender som billeder af Mandelbrot-sættet, fordi det nødvendige antal beregninger ikke kan udføres i hånden. Professor Benoit Mandelbrot var den første, der brugte en computer til at visualisere et sæt.

Fractals blev beskrevet af Mandelbrot i 1975 i hans bog Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension (Fractal Objects: Form, Randomness and Dimension). I denne bog brugte Mandelbrot først udtrykket "fraktal" til at henvise til et matematisk fænomen, der udviser en så uforudsigelig og overraskende adfærd. Disse fænomener blev født, når man brugte en rekursiv algoritme til at opnå en hvilken som helst kurve eller sæt. Mandelbrot-sættet er et sådant fænomen, opkaldt efter dets forsker.

I 1978 blev en fraktal defineret og tegnet af Robert W. Brooks og Peter Matelsky som en del af en undersøgelse af Klein-grupper [3] . Den 1. marts 1980 var Benoit Mandelbrot den første til at se visualiseringer af sættet [4] . Den matematiske undersøgelse af Mandelbrot-sættet begyndte med arbejdet af matematikerne Adrien Douady og John H. Hubbard, som etablerede mange af dets grundlæggende egenskaber [1] .

Mandelbrot-sættet blev kendt i midten af 1980'erne i computergrafikdemonstrationer, da personlige computere blev kraftige nok til at bygge og vise sættet i høj opløsning [5] .

Opbygning af et sæt

Det er let at bevise, at så snart modulet er større end 2 (eller, hvad angår reelle og imaginære dele, ), vil alle efterfølgende moduler i sekvensen have en tendens til uendelig. I tilfælde af | c | > 2 dette kan bevises ved hjælp af metoden matematisk induktion . Hvornår | c | > 2 hører punktet c bestemt ikke til Mandelbrot-mængden, som kan udledes ved matematisk induktion ved hjælp af lighed (selv om der i dette tilfælde kan være en anden , for hvilken den tilsvarende sekvens er afgrænset i absolut værdi, og for nogle n uligheden holder ). $z_n$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $z_{0}=0$ $z_{0}$ $|z_{n}|>2$

Sammenligning med dette tal (i den engelske litteratur kaldes det " bail-out ") giver dig mulighed for at vælge punkter, der ikke falder inden for sættet. For punkter, der ligger inde i sættet, vil sekvensen af iterationer ikke danne en trend for afstanden fra det nye punkt til uendelig for et hvilket som helst antal iterationer, så efter et vist antal iterationer kan beregningen afsluttes. Det maksimale antal iterationer, hvorefter antallet anses for at være inde i sættet, sættes blot som startbetingelsen for konstruktionen. $|z_{n}|$ $|z_{0}|$

Billedet opnået på denne måde er kun en tilnærmelse til det rigtige Mandelbrot-sæt. Bedre resultater kan opnås ved at øge det maksimale antal iterationer, men beregningstiden øges også proportionalt.

Farveindstillinger

Strengt matematisk bør billederne af Mandelbrot- og Julia-sættene være sorte og hvide - et punkt hører enten til sættet eller ej. Men der er foreslået muligheder for at lave billederne i farver. Den mest almindelige måde er at farve punkter nær den ydre grænse af sættet, afhængigt af antallet af iterationer, hvorefter det bliver tydeligt, at punktet ikke hører til sættet (hvorefter kriteriet begynder at være opfyldt ). $|z_{n}|>2$

Proceduren til at bestemme, om et punkt tilhører et sæt (traditionelt malet i sort) eller ej (malet i en farve afhængigt af "fjernelseshastigheden") er som følger: ved hver iteration beregnes den aktuelle afstand - værdien af modulo , som så sammenlignes med "uendelighedskriteriet" (normalt tages værdien lig med 2). Du kan reducere antallet af beregninger markant ved at nægte at beregne kvadratroden - tjek ikke , men . $z_{0}$ $|z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4$

Således, hvis , så er punktet malet i den farve, der tidligere blev valgt til - nummeret på den iteration, hvor kriteriet blev opfyldt (det kan tjene som et indeks i farvetabellen eller bruges som en parameter i en mere kompleks algoritme). Hvis kriteriet ikke nås med det maksimale antal iterationer for denne konstruktion, anses punktet for at tilhøre sættet, og dets farve er sort. $|z_{n}|^{2}\geqslant 4$ $z_{0}$ $n$

Punkter nær grænsen af et sæt har normalt brug for flere iterationer for at nå ikke-medlemskabskriteriet. Derfor behandles sådanne områder meget længere.

Optimering

En af måderne at reducere mængden af beregninger på, når man bygger et generelt billede af sættet, er at kontrollere, om punktet falder ind i området for hovedkardioiden . Formlen for en cardioid i polære koordinater er som følger:

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

For et punkt er det således nødvendigt at beregne $(x, y)$

\rho ={\sqrt {\left(x-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+y^{2}}},

\theta =\operatørnavn {atn} _{2}\left(y,x-{\frac {1}{4}}\right),

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Hvis , så falder punktet inde i sættet og males sort, og derefter kan iterative beregninger udelades. ${\displaystyle \rho \leqslant \rho _{c))$ $(x, y)$

I praksis er den største reduktion i mængden af beregninger givet ved at spore grænsen: hvis der er en lukket kurve, der ikke skærer abscisse-aksen, hvor hvert punkt går ud over redningsgrænsen for det samme antal iterationer eller , omvendt, hører til Mandelbrot-sættet, så vil ethvert punkt inde i denne kurve have den samme egenskab, og derfor er hele området inden for grænsen fyldt med samme farve.

Forholdet til Julia-sættet

Mandelbrot-sættet blev oprindeligt konstrueret som et katalog over Julia-sæt : hvert punkt på det komplekse plan har sit eget Julia-sæt. Punkter, der hører til Mandelbrot-sættet, svarer til forbundne Julia-sæt, og punkter, der ikke tilhører afbrudte .

Heraf er det klart, at interessante varianter af Julia-sættet svarer til punkter, der ligger på grænsen til Mandelbrot-sættet. Prikkerne dybt inde danner simple geometriske former, mens de ydre ligner støv omkring farvede pletter. Nogle programmer, såsom Fractint, giver brugeren mulighed for på skærmen at angive det punkt, som det tilsvarende Julia-sæt skal bygges til, hvilket gør det nemmere at finde smukke billeder.

Selve Mandelbrot-sættet indeholder strukturer, der ligner Julia-sættet: for enhver c ligner området af Mandelbrot-sættet omkring c midten af Julia-sættet med parameter c . Hvis vi i høj grad øger Mandelbrot-mængden ved grænsepunktet c og gør det samme med Julia-mængden for den samme værdi af c og i det samme punkt, så vil mønstrene asymptotisk tendere mod hinanden med stigende forstørrelser.

Variationer af Mandelbrot-sættet

Under navnet "Mandelbrot sæt" forstås ofte kun det ovenfor beskrevne sæt. Men enhver funktion af en kompleks variabel har et tilsvarende Mandelbrot-sæt, som også er karakteriseret ved tilstedeværelsen eller fraværet af et forbundet Julia-sæt. For eksempel kan du sætte f c ( z ) = z 3 + c . Derefter kontrolleres for hver værdi af c forbindelsen af Julia-mængden af funktionen f c , og hvis der er en sammenhæng, antages det, at c hører til Mandelbrot-mængden. I det beskrevne tilfælde kan forbindelsen kontrolleres på samme måde som for f c ( z ) = z 2 + c .

Disse påstande kan også generaliseres til Julia-sæt defineret af mere end to tal. For eksempel har Julia-sættet defineret af tre reelle tal et tilsvarende tredimensionelt Mandelbrot-sæt.

Multidimensionelle variationer af Mandelbrot-sættet overvejes også. Så den tredimensionelle analog blev kaldt Mandelbrots pære , selvom klassiske analoger på komplekse tal kun eksisterer i en dimension svarende til styrken 2.

Anvendelse af Mandelbrot-sættet

Mandelbrot-sættet bruges til at analysere forekomsten af turbulens i plasmafysik og termodynamik, udviklingen af bifurkationer mv.

Ansøgning i kunst

At finde smukke fragmenter af farvede versioner af Mandelbrot-sættet er en interessant hobby for så mange mennesker. De samler samlinger af sådanne billeder, og hver af dem kan beskrives med et lille antal parametre, for eksempel blot koordinaterne for midten. Et element af kreativitet er ikke kun søgningen efter koordinater, men også udvælgelsen af en farvetabel, der forbinder den med antallet af udførte iterationer såvel som det maksimale antal gentagelser, der udføres.

Centerkoordinater :
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
bredde 0,00000000374
Centerkoordinater :
−1,88488933694469,
0,000000000081387,
bredde 0,000000000000024
Centerkoordinater :
−0,777807810193171,
0,131645108003206,
bredde 0,000000000000000032
Centerkoordinater :
−0,56267837374,
0,65679461735,
bredde 0,000000064

Der findes et stort antal programmer til at tegne fraktaler, men på trods af dette skriver mange deres egne versioner for mere fleksibilitet, når de eksperimenterer med for eksempel at lave animerede billeder.

Centerkoordinater :
−0,56267837374,
0,65679461735,
bredde 0,000000064
Centerkoordinater :
−1,96680095,
0,00000478,
bredde 0,00000014
Centerkoordinater :
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
bredde 0,00000000374

Matematiske fakta om Mandelbrot-sættet

Davdy og Hubbard har bevist, at Mandelbrot-sættet er forbundet , selvom det er svært at tro, når man ser på de indviklede systemer af broer, der forbinder dets forskellige dele. Forbindelsen af Mandelbrot-sættet følger af, at det er skæringspunktet mellem indlejrede forbundne kompakte sæt.

Det vides dog ikke, om det er lokalt forbundet . Denne velkendte formodning inden for kompleks dynamik er blevet kaldt MLC ( Mandelbrot lokalt forbundet ) . Mange matematikere gør en indsats for at bevise det. Jean-Christophe Yoccoz beviste, at formodningen er sand på alle punkter med endelig renormalisering , derefter beviste mange andre matematikere gyldigheden af formodningen på mange separate punkter i Mandelbrot-sættet, men den generelle formodning forbliver ubevist.

Mitsuhiro Shishikura beviste, at Hausdorff-dimensionen af grænsen for Mandelbrot-sættet er 2. Men spørgsmålet er, om grænsen for Mandelbrot-sættet har et positivt Lebesgue-mål på flyet.

Antallet af iterationer for ethvert punkt i konstruktionen af sættet er meget tæt på logaritmen af det elektriske potentiale, der opstår, når Mandelbrot-sættet oplades. Mere præcist falder grænsen sammen med dette potentiale. $\ln {\big (}\ln(|z_{n}|)/2^{n}{\big )}+{\text{const))$

Litteratur

Benoit Mandelbrot , Richard L. Hudson. (U)lydige markeder: En fraktal revolution inden for finans = Markedernes dårlige opførsel. - M . : "Williams" , 2005. - S. 400. - ISBN 5-8459-0922-8 .

Se også

Mandelbrot skal
Mandelbrot sat på wikibog (med eksempler på programmer på forskellige sprog)

Noter

↑ 1 2 Adrien Douady og John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
↑ Pixeltælling arkiveret 10. august 2019 på Wayback Machine .
↑ Robert Brooks og Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C) , i Irwin Kra. Riemann overflader og relaterede emner: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference / Irwin Kra. - Princeton University Press , 1981. - ISBN 0-691-08267-7 . Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 11. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 28. juli 2019. (ubestemt)
↑ R.P. Taylor & J.C. Sprott. Biofile fraktaler og den visuelle rejse for organiske pauseskærme . Ikke-lineær Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, nr. 1 . Society for Chao Theory in Psychology & Life Sciences (2008). Hentet 1. januar 2009. Arkiveret fra originalen 28. august 2008. (ubestemt)
↑ Pountain, Dick. Turbolader Mandelbrot (neopr.) // Byte . - 1986. - September.

Links

Video: 10 minutters forbløffende dykning i Mandelbrot-sættet
Mandelbrot og Julia spiller på FractalWorld
Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness , TED talk-optagelse
Mandelbrot 4.0 er et gratis (under GNU offentlige licens ) program til at skabe Mandelbrot og Julia sæt
QuickMAN v.1.10 gratis (under GNU 2 offentlige licens ) program til oprettelse af Mandelbrot sættet (engelsk)
Interaktiv JavaScript-visualisering af Mandelbrot-sættet

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Britannica (online) Brockhaus

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks