Kompakt plads

Et kompakt rum er en bestemt type topologiske rum , der generaliserer egenskaberne af afgrænsethed og lukning i euklidiske rum til vilkårlige topologiske rum.

I generel topologi ligner kompakte rum endelige mængder i mængdeteori i deres egenskaber .

Definition

Et kompakt rum er et topologisk rum , i ethvert dæksel , hvoraf der ved åbne mængder er et endeligt underdæksel [1] .

Oprindeligt blev denne egenskab kaldt bicompact (dette udtryk blev introduceret af P. S. Aleksandrov og P. S. Uryson ), og tællelige åbne dæksler blev brugt i definitionen af kompakthed . Efterfølgende viste den mere generelle egenskab ved bikompakthed sig at være mere populær og blev gradvist kaldt kompakthed. Nu bruges udtrykket "bikompakthed" hovedsageligt kun af topologer fra P. S. Aleksandrovs skole. For rum, der opfylder det andet aksiom for tællelighed , svarer den oprindelige definition af kompakthed til den moderne [2] .

Bourbaki og hans tilhængere inkluderer i definitionen af kompakthed Hausdorff -rumejendommen [2] .

Eksempler på kompakte sæt

Lukket afgrænset sæt i . $\mathbb {R} ^{n}$
Finite delmængder af topologiske rum.
Ascoli-Arzela-sætningen giver en karakterisering af kompakte mængder i rummet af reelle funktioner på et metrisk kompakt rum med normen : lukningen af et sæt funktioner i er kompakt, hvis og kun hvis det er ensartet afgrænset og ækvikontinuerligt kontinuerligt . $C(X)$ $x$ $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ $F$ $C(X)$ $F$
Stenrummet af booleske algebraer .
Kompaktificering af et topologisk rum.

Relaterede definitioner

En delmængde af et topologisk rum T , der er et kompakt rum i topologien induceret af T , kaldes et kompakt sæt .
Et sæt siges at være prækompakt (eller kompakt i forhold til T ), hvis dets lukning i T er kompakt [3] .
Et rum kaldes sekventielt kompakt , hvis en sekvens i det har en konvergent undersekvens.
Et lokalt kompakt rum er et topologisk rum, hvor ethvert punkt har et kvarter , hvis lukning er kompakt.
Et afgrænset kompakt rum er et metrisk rum , hvor alle lukkede kugler er kompakte.
Et pseudokompakt rum er et Tikhonov -rum, hvor enhver kontinuerlig reel funktion er afgrænset.
Et tælleligt kompakt rum er et topologisk rum, hvor ethvert tælligt dæksel af åbne sæt indeholder et endeligt underdæksel.
Et svagt tælleligt kompakt rum er et topologisk rum, hvor ethvert uendeligt sæt har et grænsepunkt.
Et H-lukket rum er et Hausdorff-rum, der er lukket i ethvert omgivende Hausdorff-rum [4] .

Udtrykket " kompakt " bruges nogle gange om et kompakt rum, der kan måles, men nogle gange blot som et synonym for udtrykket "kompakt rum". Også " kompakt " bruges nogle gange til et Hausdorff kompakt rum [5] . Yderligere vil vi bruge udtrykket " kompakt " som et synonym for udtrykket "kompakt rum".

Egenskaber

Egenskaber svarende til kompaktitet:
- Et topologisk rum er kompakt, hvis og kun hvis hver centreret familie af lukkede mængder, det vil sige en familie, hvor skæringspunkterne mellem endelige underfamilier ikke er tomme, har et ikke-tomt skæringspunkt [6] .
- Et topologisk rum er kompakt, hvis og kun hvis hver retning i det har et grænsepunkt.
- Et topologisk rum er kompakt, hvis og kun hvis hvert filter i det har et grænsepunkt.
- Et topologisk rum er kompakt, hvis og kun hvis hvert ultrafilter konvergerer til mindst ét punkt.
- Et topologisk rum er kompakt, hvis og kun hvis hver uendelig delmængde i det har mindst ét punkt med fuldstændig akkumulering i . $x$ $x$
Andre generelle egenskaber:
- For enhver kontinuerlig kortlægning er billedet af et kompakt sæt et kompakt sæt.
- Weierstrass' sætning . Enhver kontinuerlig reel funktion på et kompakt rum er afgrænset og når sine maksimum- og minimumværdier.
- En lukket delmængde af et kompakt sæt er kompakt.
- En kompakt delmængde af et Hausdorff-rum er lukket .
- Et kompakt Hausdorff-rum er normalt .
- Et Hausdorff-rum er kompakt, hvis og kun hvis det er regulært og H-lukket [4] .
- Et Hausdorff-rum er kompakt, hvis og kun hvis hver af dets lukkede delmængder er H-lukket [4] .
- Tikhonovs teorem: Produktet af et vilkårligt (ikke nødvendigvis endeligt) sæt af kompakte mængder (med produkttopologien ) er kompakt.
- Enhver kontinuerlig en-til-en kortlægning fra et kompakt sæt til et Hausdorff-rum er en homeomorfisme .
- Kompakte sæt "opfører sig som punkter" [7] . For eksempel: i et Hausdorff-rum har alle to ikke-skærende kompakte sæt ikke-skærende kvarterer, i et almindeligt rum har alle ikke-skærende kompakte og lukkede sæt ikke-skærende kvarterer, i et Tikhonov-rum alle ikke-skærende kompakte og lukkede sæt er funktionelt adskillelige .
- Hvert endeligt topologisk rum er kompakt.

Egenskaber for kompakte metriske rum:
- Et metrisk rum er kompakt, hvis og kun hvis en sekvens af punkter i det indeholder en konvergent undersekvens.
- Hausdorffs kompakthedssætning giver nødvendige og tilstrækkelige betingelser for kompaktheden af en mængde i et metrisk rum.
- For finit -dimensionelle euklidiske rum er et underrum kompakt, hvis og kun hvis det er afgrænset og lukket . Rum med denne egenskab siges at tilfredsstille Heine-Borel-ejendommen [8] .
- Lebesgues lemma : For ethvert kompakt metrisk rum og åbent dæksel eksisterer der et positivt tal , således at enhver delmængde, hvis diameter er mindre end , er indeholdt i et af sættene . Sådan et nummer kaldes Lebesgue-nummeret. $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \i A$ $r$ $r$ $V_{\alpha }$ $r$

Se også

Kompaktificering

Noter

↑ Viro et al., 2012 , s. 97.
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , s. 98.
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , s. 105.
↑ 1 2 3 Kelly, 1968 , s. 209.
↑ Engelking, 1986 , s. 208.
↑ Se også Lemma om indlejrede segmenter
↑ Engelking, 1986 , s. 210.
↑ Se også Bolzano-Weierstrass-sætning #Bolzano-Weierstrass-sætning og begrebet kompakthed

Litteratur

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - 4. udgave -M .:Nauka, 1976. (Russisk)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Elementær topologi. - 2. udg., rettet .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Russisk)
Protasov, V. Yu. Maxima and Minima in Geometry. -M.: MTSNMO, 2005. - 56 s. - (Bibliotek "Matematisk uddannelse", hæfte 31). (Russisk)
Schwartz, L. Analyse. -M .:Mir, 1972. - T. I. (Russisk)
Kelly, J.L. Generel topologi. — M .: Nauka , 1968. (Russisk)
Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s. (Russisk)
Arkhangelsky, A.V. Bikompakt rum //Matematisk encyklopædi. —M.: Soviet Encyclopedia, 1977-1985. (Russisk)
Voitsekhovsky, M. I. Compact space // Mathematical Encyclopedia . — M .: Soviet Encyclopedia, 1977-1985. (Russisk)

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Universalis