Kystlinjeparadoks

Kystlinjeparadokset er en kontroversiel observation inden for geografiske videnskaber relateret til manglende evne til nøjagtigt at bestemme længden af ​​kystlinjen på grund af dens fraktallignende egenskaber. Den første dokumenterede beskrivelse af dette fænomen blev lavet af Lewis Richardson [1] ; senere blev det udvidet af Benoit Mandelbrot [2] .

Længden af ​​kystlinjen afhænger af, hvordan den måles. Da bøjninger af enhver størrelse kan skelnes for et landområde, fra hundredvis af kilometer til brøkdele af en millimeter eller mindre, er det umuligt at vælge størrelsen på det mindste element, der skal tages til måling på en indlysende måde. Derfor er det umuligt entydigt at bestemme omkredsen af ​​dette afsnit. Der er forskellige matematiske tilnærmelser til at løse dette problem.

Historien om udviklingen af ​​paradokset

Kort før 1951 bemærkede Lewis Fry Richardson , i løbet af at studere den påståede indflydelse af længden af ​​statsgrænser på sandsynligheden for udbrud af militære konflikter, følgende: Portugal erklærede, at dets landgrænse med Spanien var 987 km, og Spanien definerede det som 1.214 km. Dette faktum tjente som udgangspunkt for at studere kystlinjeproblemet [3] .

Den vigtigste metode til at estimere længden af ​​en grænse eller kystlinje var at overlejre N lige store segmenter af længden l på et kort eller et luftfoto ved hjælp af et kompas. Hver ende af segmentet skal tilhøre den målte grænse. Ved at udforske uoverensstemmelser i bundne estimater opdagede Richardson, hvad der nu kaldes Richardson-effekten : måleskalaen er omvendt proportional med den samlede længde af alle segmenter. Det vil sige, at jo kortere lineal der bruges, jo længere er den målte kant. Således blev spanske og portugisiske geografer simpelthen styret af målinger af forskellige skalaer.

Det mest slående for Richardson var, at når værdien af ​​l går til nul, går længden af ​​kysten til uendelig. Til at begynde med troede Richardson, baseret på euklidisk geometri, at denne længde ville nå en fast værdi, som det sker i tilfælde af regulære geometriske figurer. For eksempel nærmer omkredsen af ​​en regulær polygon indskrevet i en cirkel sig selve cirklens længde, når antallet af sider øges (og længden af ​​hver side falder). I teorien om geometriske målinger kaldes en sådan glat kurve som en cirkel, der tilnærmelsesvis kan repræsenteres som små segmenter med en given grænse, en ensretterbar kurve.

Mere end ti år efter Richardson afsluttede sit arbejde, udviklede Mandelbrot en ny gren af ​​matematikken - fraktal geometri - til at beskrive sådanne ikke-korrigerbare komplekser, der findes i naturen, såsom en endeløs kystlinje [4] . Hans egen definition af en fraktal som grundlag for hans forskning er [5] :

Jeg opfandt ordet fraktal baseret på det latinske adjektiv fractus . Det tilsvarende latinske verbum frangere betyder at bryde : at skabe uregelmæssige fragmenter. Det er derfor rimeligt, at fractus ud over "fragmentarisk" også skal betyde "irregulær".

Nøgleegenskaben ved fraktaler er selvlighed , som består i manifestationen af ​​den samme generelle figur i enhver skala. Kystlinjen opfattes som en vekslen mellem bugter og kapper. Hypotetisk, hvis en given kystlinje har egenskaben af ​​selv-lighed, så uanset hvor meget den ene eller anden del er skaleret, opstår der stadig et lignende mønster af mindre bugter og kapper, overlejret på større bugter og kapper, ned til sandkorn. På sådanne skalaer ser kystlinjen ud til at være en øjeblikkeligt skiftende, potentielt uendelig tråd med et stokastisk arrangement af bugter og kapper. Under sådanne forhold (i modsætning til glatte kurver) udtaler Mandelbrot: "Længden af ​​kystlinjen viser sig at være et uopnåeligt koncept, der glider mellem fingrene på dem, der forsøger at forstå det" [4] .

Matematisk fortolkning

Begrebet længde kommer fra euklidisk afstand . I euklidisk geometri er en lige linje den korteste afstand mellem to punkter. En geodætisk linje på overfladen af ​​en kugle, kaldet en storcirkel , måles langs en kurve, der ligger i det plan, der indeholder endepunkterne på stien og kuglens centrum. Længden af ​​kurven er sværere at beregne. Når du bruger en lineal, kan længden af ​​kurven beregnes tilnærmelsesvis ved at summere længderne af linjestykkerne, der forbinder punkterne:

Brugen af ​​kortere og kortere segmenter vil give en stadig mere nøjagtig værdi, der nærmer sig den faktiske værdi af buelængden. En sådan nøjagtig værdi for infinitesimale afstande kan beregnes ved hjælp af calculus . Følgende animation viser, hvor glat en sådan kurve kan være med den nøjagtige længde:

Det er dog ikke alle kurver, der kan måles på denne måde. En fraktal har en forskellig kompleksitet afhængigt af skalaen, så de målte værdier af fraktallængder kan ændre sig uforudsigeligt.

Længden af ​​den "ægte fraktal" har altid en tendens til uendelig, ligesom længderne af uendeligt små kyststrækninger summeres til uendelig [6] . Men dette udsagn er baseret på antagelsen om, at rummet er ubegrænset, hvilket igen næppe afspejler det reelle begreb om rum og afstand på atomniveau . Den mindste længdeenhed i universet er Planck-længden , som er meget mindre end størrelsen af ​​et atom.

En kystlinje med egenskaben selvlighed indgår i "første kategori af fraktaler, det er nemlig en kurve med en fraktal dimension større end 1". Dette sidste udsagn er Mandelbrots forlængelse af Richardsons tanke. Mandelbrot formulerer Richardson-effekten [7] som følger:

hvor kystlinjelængden L er en funktion af enheden ε og tilnærmes ved udtrykket på højre side. F er en konstant, D er Richardson-parameteren, som afhænger af selve kystlinjen (Richardson gav ikke en teoretisk forklaring på denne værdi, men Mandelbrot definerede D som en ikke-heltalsform af Hausdorff-dimensionen , senere en fraktal dimension. I med andre ord, D er en praktisk målt værdi af "ruhed" ). Hvis vi omarrangerer højre side af udtrykket, får vi:

hvor Fε -D skal være antallet af enheder af ε, der kræves for at opnå L. Den fraktale dimension er antallet af objektdimensioner, der bruges til at tilnærme fraktalen: 0 for et punkt, 1 for en linje, 2 for arealtal. Da den stiplede linje, der måler kystens længde, ikke strækker sig i én retning og samtidig ikke repræsenterer et område, er værdien af ​​D i udtrykket mellem 1 og 2 (normalt mindre end 1,5 for kysten) . Det kan tolkes som en tyk streg eller stribe 2ε bred. Flere "brudte" kyster har en større værdi af D, og ​​dermed viser L sig at være længere for samme ε. Mandelbrot viste, at D ikke afhænger af ε.

Generelt adskiller kystlinjer sig fra matematiske fraktaler, fordi de er dannet ved hjælp af talrige små detaljer, der kun skaber modeller statistisk [8] .

Paradoks i praksis

Af praktiske årsager er minimumsstørrelsen på delene valgt til at være lig med rækkefølgen af ​​måleenheder. Så hvis kystlinjen måles i kilometer, tages der simpelthen ikke højde for små ændringer i linjerne, meget mindre end en kilometer. For at måle kystlinjen i centimeter skal alle små variationer i størrelsen på omkring en centimeter tages i betragtning. Men på skalaer af størrelsesordenen centimeter skal der foretages forskellige vilkårlige ikke-fraktale antagelser, såsom hvor en flodmunding slutter sig til havet, eller hvor der skal foretages målinger ved brede watt . Derudover giver brugen af ​​forskellige målemetoder til forskellige måleenheder dig ikke mulighed for at konvertere disse enheder ved hjælp af simpel multiplikation.

For at bestemme statens territorialfarvande bygges såkaldte lige grundlinjer , der forbinder de officielt etablerede punkter på kysten. Længden af ​​en sådan officiel kystlinje er heller ikke svær at måle.

Ekstreme tilfælde af kystlinjeparadokset omfatter kyster med et stort antal fjorde : Norges kyster , Chile , Nordamerikas nordvestkyst og andre. Fra den sydlige spids af Vancouver Island i nordlig retning til den sydlige spids af det sydøstlige Alaska udgør kurverne af kysten i den canadiske provins British Columbia mere end 10 % af længden af ​​den canadiske kystlinje (inklusive alle øerne i den canadiske arktiske øgruppe ) - 25.725 km ud af 243.042 km på lineær afstand, svarende til kun 965 km [9] .

Se også

Noter

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Coastline Paradox  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  2. ↑ Mandelbrot, Benoit M. Naturens fraktale geometri. - W.H. Freeman og Co., 1983. - S. 25-33. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
  3. ↑ Ashford, Oliver M. , Charnock, H. , Drazin, PG , Hunt, JCR Fractals // The Collected Papers of Lewis Fry Richardson / red. Ashford, Oliver M. - Cambridge University Press, 1993. - Vol. 1, "Meteorologi og numerisk analyse" . - S. 45-46. — 1016 s. - ISBN 0-521-38297-1 .
  4. ↑ 1 2 Mandelbrot (1983), s. 28.
  5. ↑ Mandelbrot (1983), s. en.
  6. ↑ Post & Eisen, s. 550.
  7. ↑ Mandelbrot (1983), s. 29-31.
  8. ↑ Peitgen, H.-O. , Jürgens, H. , Saupe, D. Irregular Shapes: Randomness in Fractal Constructions // Chaos and Fractals: New Frontiers of Science . - 2. udg. - Springer, 2004. - S. 424. - ISBN 0-387-21823-8 .
  9. ↑ Sebert, LM og MR Munro. 1972. Dimensioner og områder af kort over Canadas nationale topografiske system. Teknisk rapport 72-1. Ottawa, Ont: Surveys and Mapping Branch, Department of Energy, Mines and Resources.

Yderligere læsning

 fraktaler
Egenskaber
De enkleste fraktaler
mærkelig attraktionMultifraktal
L-systemRumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler
Tilfældige fraktaler
Mennesker
relaterede emner