Kantor sæt

Cantor-sættet ( Cantor discontinuum , Cantor dust ) er en af de simpleste fraktaler , en delmængde af enhedssegmentet af den reelle linje , som er et klassisk eksempel på et diskontinuum i matematisk analyse .

Beskrevet i 1883 af Georg Cantor . Hermed besvarede han følgende spørgsmål fra Magnus Mittag-Leffler i et brev af 21. juni 1882: [1]

Lad betegne sættet af grænsepunkter for sættet . Findes der et intetsteds tæt sæt sådan, at krydset

P'

P

P

P\cap P'\cap P''\cap \dots

ikke tom?

Definitioner

Klassisk konstruktion

Fra et enkelt segment fjerner vi den midterste tredjedel, det vil sige intervallet . Det resterende punktsæt vil blive angivet med . Sættet består af to segmenter; Lad os nu fjerne dens midterste tredjedel fra hvert segment og betegne det resterende sæt med . Ved at gentage denne procedure igen, fjerne de midterste tredjedele af alle fire segmenter, får vi . Yderligere får vi på samme måde en sekvens af lukkede sæt . vejkryds $C_0=[0,1]$ $(1/3,2/3)$ $C_{1}$ $C_1=[0,1/3]\kop[2/3,1]$ $C_{2}$ $C_{3}$ $C_0\supset C_1\supset C_2\supset\dots$

C=\bigcap_{i=0}^\infty C_i

kaldes Kantorsættet .

Sæt

C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6

Med ternær notation

Cantor-sættet kan også defineres som et sæt tal fra nul til et, der kan repræsenteres i ternær notation ved kun at bruge nuller og toere (tal med en enhed i det n. ciffer skæres ud ved konstruktionens n'te trin). Et tal hører til Cantor-sættet, hvis det har mindst én sådan repræsentation, for eksempel siden . $0{,}1_{3}\in C$ ${\displaystyle 0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3))$

I en sådan notation er det let at se kontinuiteten i Cantor-sættet.

Som en attraktion

Cantor-sættet kan defineres som en attraktor . Overvej alle sekvenser af punkter sådan, at for evt $\{x_n\}$ $n$

x_{n+1}=x_n/3

eller .

x_{n+1}-1=(x_n-1)/3

Så er sættet af grænser for alle sådanne sekvenser et Cantor-sæt.

Som en tællig potens af et simpelt kolon

I litteraturen om generel topologi er et Cantor-sæt defineret som en tællig potens af et topunkts diskret rum - [2] ; et sådant rum er homøomorft i forhold til et klassisk konstrueret Cantor-sæt (med den sædvanlige euklidiske topologi) [3] [4] . $\{0;1\}^{\aleph_0}$

Egenskaber

Cantor-sættet er et intetsteds tæt perfekt sæt .
Cantor-sættet er kontinuerligt .
Cantor-sættet har topologisk dimension 0.
Cantor-sættet har en mellemliggende (det vil sige ikke heltal ) Hausdorff-dimension lig med . Især har den nul Lebesgue-mål . $\ln 2/\ln 3\approx 0{,}63$
Hver nul-dimensional metriserbar kompakt uden isolerede punkter er homøomorf til et Cantor-sæt.
Hver metriserbar kompakt er billedet af en Cantor sat under en eller anden kontinuerlig kortlægning .
Cantor-sættet er universelt til alle nul -dimensionelle rum med en tællig base .

Variationer og generaliseringer

Cantor-terningen ( generaliseret Cantor-diskontinuum ) af vægt erden tette potens af et to-punkts diskret rum. Cantor-terningen er højstuniversel til alle nuldimensionelle vægtrum . Hver Hausdorff -kompakt af vægt er højstet kontinuerligt billede af et underrum af Cantor-terningen. $\mathfrak{m}\geqslant \aleph_0$ $\mathfrak{m}$ $\{0;1\}^{\mathfrak{m}}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $\{0;1\}^{\mathfrak{m}}$

Et dyadisk kompakt sæt er et kompakt sæt, der kan repræsenteres som et kontinuerligt billede af en Cantor-terning. Et dyadisk rum [5] er et topologisk rum, for hvilket der eksisterer en komprimering , der er et dyadisk kompakt sæt.

Se også

Noter

↑ Moore, Gregory H. Fremkomsten af åbne sæt, lukkede sæt og grænsepunkter i analyse og topologi // Historia Math. - 2008. - Bd. 35 , nr. 3 . — S. 220–241 .
↑ Engelking, 1986 , s. 136.
↑ Engelking, 1986 , s. 207-208.
↑ Cantor set - Encyclopedia of Mathematics artikel . V. V. Fedorchuk
↑ Dyadisk rum - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . V. A. Efimov

Litteratur

Engelking R. . Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks