Perkolation teori
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. december 2021; checks kræver 6 redigeringer .Perkolationsteori ( perkolationsteori eller nedsivningsteori) er en matematisk teori , der bruges inden for fysik, kemi og andre områder til at beskrive fremkomsten af forbundne strukturer i tilfældige medier ( klynger ) bestående af individuelle elementer.
De enkleste problemer med perkolationsteori er formuleret til diskrete gittere . Sandsynligheden ( koncentrationen) , for hvilken grid noden vil blive optaget, er givet. Derfor er sandsynligheden for, at knudepunktet vil være fri, lig med . I det enkleste tilfælde betragtes alle noder som uafhængige, det vil sige, at travlheden i en node ikke påvirker andres travlhed. To noder anses for at tilhøre den samme klynge, hvis de kan forbindes af en kontinuerlig kæde af tilstødende optaget noder. Efterhånden som værdien af parameteren stiger, vil et stigende antal noder blive optaget, og som et resultat vil der opstå klynger af en stadig større størrelse. Ved en vis kritisk værdi dannes en indsnævrende (perkolations) klynge i systemet, der forbinder den ene ende af systemet med den anden - der vil forekomme en kritisk overgang, svarende til en andenordens faseovergang . Den beskrevne problemformulering svarer til det såkaldte nodeproblem . Det er muligt at formulere et andet problem, hvor med sandsynlighed ikke selve knuderne vil være optaget, men forbindelserne mellem dem - problemet med forbindelser. En sådan tilgang gør det muligt at bruge perkolationsteoriens apparat på mange områder, for eksempel i beskrivelsen af porøse materialer, ledningsevne, polymerisation, biologisk evolution, galaksedannelse og mange andre [1] .
Historie
Historien om matematikeres interesse for fænomenet perkolation stammer fra et problem foreslået af professor De Volson Wood og offentliggjort i 1894 i American Mathematical Monthly [2 ] :
Indholdserklæring om problemet. Et lige antal hvide og sorte kugler af samme størrelse kastes i en rektangulær kasse. Hvad er sandsynligheden for, at der vil være kontinuerlig kontakt mellem hvide bolde fra den ene ende af æsken til den anden? Antag som et særligt eksempel, at kassen er 30 kugler lang, 10 kugler bred og 5 (eller 10) lag dyb.
Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] Et faktisk tilfælde foreslog følgende: Et lige antal hvide og sorte kugler af lige størrelse kastes i en rektangulær kasse, hvad er sandsynligheden for, at der vil være sammenhængende kontakt mellem hvide kugler fra den ene ende af kassen til den modsatte ende. Antag som et særligt eksempel, at der er 30 bolde i boksens længde, 10 i bredden og 5 (eller 10) lag dybt.Et stringent matematisk grundlag for at beskrive de fysiske fænomener forbundet med perkolation blev udviklet som et resultat af ti års arbejde af Stanislav Smirnov , som blev tildelt Fields-prisen i 2010 for et af hans arbejde inden for flade gittermodeller i statistisk fysik . 3] [4] .
Beskrivelse
Fænomenet perkolation (eller medium flow ) bestemmes af:
- Det miljø, hvori dette fænomen observeres;
- En ekstern kilde, der giver flow i dette miljø;
- Måden et medie flyder på, hvilket afhænger af en ekstern kilde.
Eksempel
Som det enkleste eksempel kan vi betragte en model af flow (for eksempel elektrisk nedbrydning ) i et todimensionelt kvadratisk gitter , bestående af noder, der kan være ledende eller ikke-ledende. I det indledende tidspunkt er alle grid noder ikke-ledende. Over tid kilden[ hvad? ] erstatter ikke-ledende noder med ledende noder, og antallet af ledende noder stiger gradvist. I dette tilfælde udskiftes knudepunkterne tilfældigt, det vil sige, at valget af en hvilken som helst af knudepunkterne til udskiftning er lige sandsynligt for hele overfladen af gitteret.
Perkolation er det øjeblik, hvor en sådan tilstand af gitteret opstår, hvor der er mindst én kontinuerlig vej gennem tilstødende ledende noder fra den ene til den modsatte kant. Det er klart, at med en stigning i antallet af ledende noder, vil dette øjeblik komme før hele overfladen af gitteret [ klar ] udelukkende vil bestå af ledende noder.
Lad os betegne nodernes ikke-ledende og ledende tilstande med henholdsvis nuller og ettaller. I det todimensionale tilfælde vil mediet svare til en binær matrix. Sekvensen med at erstatte matrixnuller med enere vil svare til kilden til lækage.
I det indledende tidspunkt består matrixen udelukkende af ikke-ledende elementer:
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Når de udsættes for en ekstern kilde, begynder ledende elementer at blive tilføjet til matrixen, men i første omgang er de ikke nok til perkolering:
| 0 | 0 | 0 | en |
| en | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | en | 0 |
| 0 | 0 | en | 0 |
Efterhånden som antallet af ledende noder stiger, kommer der et kritisk øjeblik, hvor perkolation opstår, som vist nedenfor:
| 0 | 0 | 0 | en |
| en | en | 0 | 0 |
|---|---|---|---|
| 0 | en | en | 0 |
| 0 | 0 | en | en |
Det kan ses, at der fra venstre til højre kant af den sidste matrix er en kæde af elementer, der sikrer strømgennemstrømningen gennem de ledende noder (enheder), der kontinuerligt følger hinanden.
Perkolation kan observeres både i gitter og andre geometriske strukturer, herunder kontinuerte strukturer, bestående af et stort antal af lignende elementer eller kontinuerte områder, henholdsvis, som kan være i en af to tilstande. De tilsvarende matematiske modeller kaldes gitter eller kontinuum.
Et eksempel på perkolation i et kontinuerligt medium kan være passage af en væske gennem en omfangsrig porøs prøve (for eksempel vand gennem en svamp lavet af skummende materiale), hvori bobler gradvist pustes op, indtil deres størrelse er tilstrækkelig til, at væsken kan sive ud. fra den ene kant af prøven til den anden.
Induktivt overføres begrebet perkolation til alle strukturer eller materialer, som kaldes et perkolationsmedium, for hvilke der skal bestemmes en ekstern kilde til lækage, hvoraf flowmetoden og elementer (fragmenter) kan være i forskellige tilstande, en hvoraf (primær) ikke opfylder denne overgangsmetode, og den anden opfylder. Strømningsmetoden indebærer også en vis sekvens af forekomst af elementer eller en ændring i fragmenterne af miljøet til den tilstand, der er nødvendig for strømning, som leveres af kilden. Kilden på den anden side overfører gradvist elementer eller fragmenter af prøven fra en tilstand til en anden, indtil perkolationsøjeblikket ankommer.
Perkolationstærskel
Sættet af elementer, gennem hvilket flowet sker, kaldes en perkolationsklynge . Da den i sagens natur er en forbundet tilfældig graf , kan den, afhængigt af den specifikke implementering, have en anden form. Derfor er det sædvanligt at karakterisere dens samlede størrelse. Lækagetærsklen er den mindste koncentration, hvor lækage opstår.
På grund af den tilfældige karakter af skiftende tilstande for elementerne i miljøet er der i det endelige system ingen klart defineret tærskel (størrelsen af den kritiske klynge), men der er et såkaldt kritisk område af værdier, hvori perkolationen tærskelværdier opnået som følge af forskellige tilfældige implementeringer falder. Efterhånden som systemets størrelse øges, indsnævres området til et punkt. For uendelige systemer er det lig med en eller anden fast værdi: for alle er der ingen kontraherende klynge i systemet, for den er altid til stede. En analytisk beregning af den kritiske koncentration er dog kun mulig for et begrænset antal gitterkonfigurationer. For eksempel, i det endimensionelle tilfælde (gitteret er en uendelig kæde af noder) , for Bethe-gitteret , hvor z er koordinationstallet . I andre tilfælde er en numerisk beregning baseret på softwaresimuleringer på store endelige gitter mulig.
På det kritiske punkt er mange vigtige egenskaber ved systemet (såsom korrelationslængden, den gennemsnitlige klyngestørrelse, styrken af den sammensnævrede klynge osv.) ental , og i det næsten kritiske område styres de af magtlove for formularen . Kritiske eksponenter virker som for forskellige størrelser . Det følger af universalitetsloven , at disse indekser kun afhænger af typen af perkolationsmodellen og rummets dimension og ikke afhænger af gitterets geometri. De er også de samme for knude- og linkproblemer.
Noter
- ↑ M. Sahini, M. Sahimi. Anvendelser af perkolationsteori . — London: CRC Press, 2014-04-21. — 276 s. — ISBN 978-0-429-08044-9 . Arkiveret 21. december 2021 på Wayback Machine
- ↑ Problemer // American Mathematical Monthly : journal . - 1894. - Bd. 1 , nr. 3 . — S. 99 . - doi : 10.2307/2971675 . Arkiveret fra originalen den 23. august 2021.
- ↑ Tilbage til fremtiden: 100 år gammelt AMM-problem kan have været det tidligste antydning af Percolation Theory , Mathematical Association of America (25. august 2010). Arkiveret fra originalen den 5. november 2016. Hentet 5. november 2016.
- ↑ Rajendra Bhatia. Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Hyderabad, 19.-27. august 2010 . — World Scientific, 2011-06-06. - S. 73-84. — 814 s. — ISBN 978-981-4324-35-9 . Arkiveret 23. august 2021 på Wayback Machine
Se også
Litteratur
- Tarasevich Yu Yu Percolation: teori, applikationer, algoritmer: Lærebog - Moskva: Redaktionel URSS, 2002. - 112 s.
- Smirnov S. Om moderne matematik og dens undervisning // Kvant , 2011, nr. 2, s. 11-18.
- Kesten H. Perkolationsteori for matematikere. - Boston: Birkhauser, 1982. (Russisk oversættelse: Kesten X. Perkolationsteori for matematikere. - M .: Mir, 1986. - 392 s.)
- D. Stauffer og A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, Taylor og Fransis, London, 1994.
- B. I. Shklovsky, A. L. Efros, Elektroniske egenskaber af doterede halvledere, kapitel 5. M .: Nauka, 1979.
- A. Bunde, S. Havlin, Percolation I (s. 51-95), Percolation II (s. 97-149), i: Fractals and disordered systems, eds. A.Bunde, S.Havlin, Springer, Berlin, 1996.
- VKSShante og S. Kirkpatrick, Adv. Phys. 20, 325 (1971).
- S. Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).
- Efros A. L. Uordens fysik og geometri . — M .: Nauka , 1982. — 176 s. - ( Bibliotek "Quantum" ). — 150.000 eksemplarer.
Links
- Simulering af gitterknuder, der åbner (leder af elektrisk strøm) Arkiveret 5. maj 2019 på Wayback Machine
| fraktaler | ||
|---|---|---|
| Egenskaber | ||
| De enkleste fraktaler | ||
| mærkelig attraktion | Multifraktal | |
| L-system | Rumudfyldende kurve | |
| Bifurkations fraktaler | ||
| Tilfældige fraktaler | ||
| Mennesker | ||
| relaterede emner | ||