Newtons pools

Newtons puljer , Newtons fraktaler er en slags algebraiske fraktaler .

Områder med fraktale grænser vises, når rødderne af en ikke- lineær ligning tilnærmelsesvis findes af Newtons algoritme på det komplekse plan (for en funktion af en reel variabel kaldes Newtons metode ofte tangentmetoden , som i dette tilfælde er generaliseret til komplekst plan) [1] .

Vi anvender Newtons metode til at finde nulpunktet af en funktion af en kompleks variabel ved hjælp af proceduren:

z_{n+1}=z_{n}-{\frac {f(z_{n})}{f'(z_{n)))))

Valget af den indledende tilnærmelse er af særlig interesse. Da en funktion kan have flere nuller, kan metoden konvergere til forskellige værdier i forskellige tilfælde. Men hvilke områder vil sikre konvergens til en bestemt rod? $z_{0}$

Historie

Dette spørgsmål interesserede Arthur Cayley tilbage i 1879 , men det var først muligt at løse det i 70'erne af det tyvende århundrede med fremkomsten af computerteknologi. Det viste sig, at i skæringspunkterne mellem disse regioner (de kaldes normalt tiltrækningsområder ) dannes såkaldte fraktaler - uendelige selvlignende geometriske figurer.

På grund af det faktum, at Newton udelukkende anvendte sin metode til polynomier , blev fraktalerne dannet som følge af en sådan anvendelse kendt som Newtons fraktaler eller Newtons puljer .

Tre rødder

Overvej ligningen:

p(z)=0

p(z)=z^{3}-1

Den har tre rødder. Når du vælger forskellige , vil processen konvergere til forskellige rødder (attraktionsområder). Arthur Cayley satte opgaven med at beskrive disse regioner, hvis grænser, som det viste sig, har en fraktal struktur. $z_{0}$

Bygning

Efter følgende formel:

z_{i+1}=z_{i}-{\frac {p(z_{i})}{p'(z_{i))}}=z_{i}-{\frac {z_{ i}^{3}-1}{3\,z_{i}^{2}}}

Skalering

Hvis du flytter midten af skærmen til et punkt og en skala ( ), kan du i stedet for at erstatte polynomiet ændre selve polynomiet. Siden , og , derefter . Siden da . $z_{0}$ $z=z_{0}+{\cfrac {Z}{\alpha }}$ $z$ $P(z)$ $z_{n+1}=F(z_{n})=>(z_{0}+{\cfrac {Z_{n+1}}{\alpha }})=F(z_{0}+ {\cfrac {Z_{n}}{\alpha }})$ $F(z)=z-{\cfrac {p(z)}{p'(z)}}=>F(z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }} )=z_{0}+{\cfrac {Z_{n}}{\alpha }}-{\cfrac {p(z(Z))}{p'_{z}(z(Z))))$ $Z_{n+1}=Z_{n}+\alpha \cdot {\cfrac {p(z(Z_{n})}{p'_{z}(z(Z_{n)))) )$ $p'_{Z}(z(Z))=p'_{z}(z(Z))\cdot z'_{Z}(Z)={\cfrac {p'_{z} (z(Z))}{\alpha }}$ $p'_{z}(z(Z))=\alpha \cdot p'_{Z}(z(Z))$

Derefter

$Z_{n+1}=Z_{n}+{\cfrac {p(z(Z_{n})}{p'_{Z}(z(Z_{n)))))$ , tæller det nye polynomium , får vi $P(Z)=p(z(Z))$ $Z_{n+1}=Z_{n}+{\cfrac {P(Z_{n})}{P'(Z_{n))}}$

Litteratur

Akulich I. L. Matematisk programmering i eksempler og opgaver: Proc. godtgørelse for studerendes økonomi. specialist. universiteter. - M . : Højere. skole, 1986.
Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. P. Beregningsmetoder for ingeniører. — M .: Mir, 1998.
Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P. , Kobelkov G. G. Numeriske metoder. - 8. udg. - M . : Laboratoriet for grundlæggende viden, 2000.
Vavilov S. I. Isaac Newton . - M. : Red. USSR's Videnskabsakademi, 1945.
Volkov E. A. Numeriske metoder. — M .: Fizmatlit, 2003.
Gill F., Murray W., Wright M. Praktisk optimering. Om. fra engelsk. — M .: Mir, 1985.
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. - M . : Nauka, 1970. - S. 575-576.
Korshunov Yu. M., Korshunov Yu. M. Matematiske grundlag for kybernetik. - Energoatomizdat, 1972.
Maksimov Yu. A., Filippovskaya EA Algoritmer til løsning af problemer med ikke-lineær programmering. - M .: MEPhI, 1982.
Morozov AD Introduktion til teorien om fraktaler. - MEPhI, 2002.
Mandelbrot B. Naturens fraktalgeometri. - M .: "Institutet for Computerforskning", 2002.
Paytgen H.-O., Richter P. H. Skønheden ved fraktaler. - M .: "Mir", 1993.
Feder E. Fractals. - M: "Mir", 1991.
Fomenko A. T. Visuel geometri og topologi. - M .: MSU forlag, 1993.
Fraktaler i fysik. Proceedings of the 6th International Symposium on Fractals in Physics, 1985. - M .: Mir, 1988.
Schroeder M. Fraktaler, kaos, magtlove. Miniaturer fra et endeløst paradis. - Izhevsk: "RHD", 2001.
Morozov AD Introduktion til teorien om fraktaler. - Moskva-Izhevsk: Institut for computerforskning, 2002, 109-111.
Kronover R. M. Fraktaler og kaos i dynamiske systemer. Grundlæggende i teorien. Moskva: Postmarked, 2000. 248-251.

Noter

↑ Newtons fraktal . Hentet 12. november 2009. Arkiveret fra originalen 20. december 2016. (ubestemt)

Links

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks