Fast punkt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Et fikspunkt i matematik er et punkt, som en given kortlægning omsætter til det, med andre ord en løsning på en ligning . $f(x)=x$

For eksempel har kortlægningen fikspunkter og , fordi og . $f(x)=x^2-3x+3$ $x=1$ $x=3$ $f(1)=1$ $f(3)=3$

Ikke enhver kortlægning har faste punkter - f.eks. har kortlægningen af en reel linje i sig selv ingen faste punkter. $f(x)=x+1$

Punkter, der vender tilbage til sig selv efter et vist antal iterationer, det vil sige løsning af ligningen

f(f(\prikker f(x)\prikker))=x

kaldes periodiske (især faste punkter er periodiske punkter af periode ). $en$

Attraktive fikspunkter

Et fast punkt på skærmen er attraktivt , hvis resultatet af successiv påføring til et punkt tæt nok på vil have tendens til : $x=f(x)$ $f$ $f$ $y$ $x$ $x$

\underbrace {f(f(\dots f(y)\dots ))} _{n}\højrepil x,\quad n\højrepil \infty

I dette tilfælde kræves det normalt, at resultatet af hver iteration ikke efterlader et større område af punktet - det vil sige, at punktet er asymptotisk stabilt . $x$ $x$

Især er betingelsen en tilstrækkelig betingelse for, at et punkt kan tiltrække . $|f'(x)|<1$

Newtons metode

En anvendelse af ideen om et tiltrækkende fikspunkt er Newtons metode : løsningen af en ligning viser sig at være et tiltrækkende fikspunkt i en eller anden kortlægning, og kan derfor findes som grænsen for en meget hurtigt konvergerende talfølge. ved dens gentagne anvendelse.

Det bedst kendte eksempel på denne metode er kvadratroden af et tal som grænsen for iterationer af kortlægningen $a\geqslant 0$

f(x)=\cfrac{x+\frac{a}{x}}{2}

Se også

Litteratur

Kolmogorov AN , Fomin SV Elementer i funktionsteori og funktionel analyse . - M.: Nauka, 1976. - Ch. 2, punkt 4.
Krasnoselsky M. A. , Zabreiko P. P. Geometriske metoder til ikke-lineær analyse. - M.: Nauka, 1975. - Ch. 5.
Agarwal R.P., Meehan M., O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press , 2001. - ISBN 0-521-80250-4 .
Borisovich Yu. G. , Gel'man BD, Myshkis AD , Obukhovskii VV Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24, hæfte 6, s. 719-791.
Fitzpatrick PM, Petryshyn WV Fastpunktssætninger for flerværdiede ikke-kompakte acykliske kortlægninger // Pacific Journal of Mathematics , 54:2, 1974.
Shashkin Yuri Alekseevich, Fixed Points, "NAUKA", Moskva, 1989.