Hurwitzs sætning om normerede divisionsalgebraer

Hurwitz-sætningen om normerede algebraer er et udsagn om mængden af alle mulige algebraer med en enhed, der, når man indfører et indre produkt, indrømmer reglen "et produkts norm er lig med produktet af normer" (normeret algebra). Det blev etableret af den tyske matematiker Hurwitz i 1898. [1] .

Ordlyd

Enhver normeret algebra med en enhed er isomorf til en af fire algebraer: reelle tal , komplekse tal , quaternioner eller oktonioner [2] .

Bemærk

Her er en normeret algebra en algebra, for alle to elementer, og som opfylder identiteten , hvor er produktet i algebraen, er skalarproduktet. $-en$ $b$ $(ab,ab)=(a,a)(b,b)$ $ab$ $(\cdot ,\cdot )$

Bevis

Beviset for sætningen er indeholdt i bogen [3] .

Noter

↑ Hurwitz, A. (1898), Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln , Goett. Nachr. : 309–316 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=GDZPPN002498200 >
↑ Hyperkomplekse tal, 1973 , s. 99.
↑ Hyperkomplekse tal, 1973 , s. 99-108.

Litteratur

Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Hyperkomplekse tal. - M. : Nauka, 1973. - 143 s.

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion