Hyperbolske tal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. juni 2020; checks kræver 6 redigeringer .

Hyperbolske tal , eller dobbelttal , parakomplekse tal , delte komplekse tal , komplekse tal af hyperbolsk type , modkomplekse tal [1] er hyperkomplekse tal af formen " a + j b ", hvor a og b er reelle tal og desuden , j ≠ ±1 . $j^{2}=1,$

Definition

Algebraisk definition

Ethvert hyperbolsk tal kan repræsenteres som et ordnet par reelle tal. Addition og multiplikation er defineret i henhold til reglerne: $(x,y).$

(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'),

(x,y)\cdot (x',y')=(xx'+yy',xy'+yx').

Formens numre identificeres med reelle tal, og derefter har de tilsvarende identiteter formen: ${\displaystyle(a,0)}$ $j=(0,1).$

(x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y'),

(x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx').

Matrixrepræsentation _

Hyperbolske tal kan repræsenteres som matricer af reelle tal, mens addition og multiplikation af hyperbolske tal vil svare til addition og multiplikation af de tilsvarende matricer:

j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.

Aritmetiske operationer

Tilføjelse: $(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.$
Subtraktion: $(a+bj)-(c+dj)=(ac)+(bd)j.$
Multiplikation: $(a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.$
Division med en divisor, der ikke er nul: ${\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{ c^{2}-d^{2}}}j.$

Egenskaber

\mathrm {e} ^{jx}=\operatørnavn {ch} x+j\operatørnavn {sh} x,

hvor sh og ch er hyperbolsk sinus og cosinus.

\operatørnavn {sh} jx=j\operatørnavn {sh} x

\operatørnavn {ch} jx=\operatørnavn {ch} x

Hyperbolske tal danner en todimensionel associativ - kommutativ algebra over feltet af reelle tal. Den hyperbolske talalgebra indeholder nul divisorer (det vil sige ikke-nul elementer af z og w , således at zw = 0 ) og er derfor, i modsætning til det komplekse tal algebra , ikke et felt. Alle nuldelere er af formen $a\cdot (1\pm j).$

Hvis du tager det $\alpha =(1+j)/2$ $\beta =(1-j)/2,$

\alpha \beta =0,

\alpha ^{2}=\alpha

\beta ^{2}=\beta .

Ethvert hyperbolsk tal kan repræsenteres som en sum , hvor og er reelle tal. I denne repræsentation udføres addition og multiplikation koordinatmæssigt. $\alpha x+\beta y,$ $x$ $y$

Således kan algebraen af hyperbolske tal opdeles i en direkte sum af to felter af reelle tal.

Ansøgning

Hyperbolske tal anvendes undertiden i relativistisk kinematik .

Noter

↑ S. A. Zhilina. Grafer af relationer i algebraen af kontrasedenioner. Noter fra videnskabelige seminarer POMI, bind 482, s. 87-113.

Links

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion