Sedenion

Sedenion  er et element i 16-dimensionel algebra over feltet af reelle tal . Hver sedenion er en lineær kombination af elementer , , , , , , , , , , , , , og , som danner grundlaget for vektorrummet for sedenioner. (I lighed med komplekse tal , todimensionel algebra, hvor hvert tal er en kombination af to elementer og har formen: ).

Som med oktonionerne er sedenionmultiplikation hverken kommutativ eller associativ . I modsætning til oktonioner har sedenioner heller ikke egenskaben alternativhed . Ikke desto mindre har sedenioner egenskaben magtassociativitet . Derudover gælder den otte kvadratiske identitet ikke for sedenioner, hvilket gælder for oktonioner, kvaternioner, komplekse og reelle tal.

Der er et identitetselement, der er omvendte elementer, men der er ingen divisionsalgebra. Dette skyldes det faktum, at der er nul divisorer , det vil sige, at der er to ikke-nul elementer, når multipliceret sammen, vil et nul resultat opnås: for eksempel, .

Sættet af sedenioner betegnes normalt som .

Multiplikationstabel over elementer:

 × en e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 e 15
en en e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 e 15
e 1 e 1 −1 e 3 -e 2 _ e 5 - e 4 - e 7 e 6 e 9 - e 8 - e 11 e 10 − e 13 e 12 e 15 −e 14 _
e 2 e 2 -e 3 _ −1 e 1 e 6 e 7 - e 4 −e 5 _ e 10 e 11 - e 8 - e 9 −e 14 _ − e 15 e 12 e 13
e 3 e 3 e 2 -e 1 _ −1 e 7 -e 6 _ e 5 - e 4 e 11 - e 10 e 9 - e 8 − e 15 e 14 − e 13 e 12
e 4 e 4 −e 5 _ -e 6 _ - e 7 −1 e 1 e 2 e 3 e 12 e 13 e 14 e 15 - e 8 - e 9 - e 10 - e 11
e 5 e 5 e 4 - e 7 e 6 -e 1 _ −1 -e 3 _ e 2 e 13 −e 12 _ e 15 −e 14 _ e 9 - e 8 e 11 - e 10
e 6 e 6 e 7 e 4 −e 5 _ -e 2 _ e 3 −1 -e 1 _ e 14 − e 15 −e 12 _ e 13 e 10 - e 11 - e 8 e 9
e 7 e 7 -e 6 _ e 5 e 4 -e 3 _ -e 2 _ e 1 −1 e 15 e 14 − e 13 −e 12 _ e 11 e 10 - e 9 - e 8
e 8 e 8 - e 9 - e 10 - e 11 −e 12 _ − e 13 −e 14 _ − e 15 −1 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
e 9 e 9 e 8 - e 11 e 10 − e 13 e 12 e 15 −e 14 _ -e 1 _ −1 -e 3 _ e 2 −e 5 _ e 4 e 7 -e 6 _
e 10 e 10 e 11 e 8 - e 9 −e 14 _ − e 15 e 12 e 13 -e 2 _ e 3 −1 -e 1 _ -e 6 _ - e 7 e 4 e 5
e 11 e 11 - e 10 e 9 e 8 − e 15 e 14 − e 13 e 12 -e 3 _ -e 2 _ e 1 −1 - e 7 e 6 −e 5 _ e 4
e 12 e 12 e 13 e 14 e 15 e 8 - e 9 - e 10 - e 11 - e 4 e 5 e 6 e 7 −1 -e 1 _ -e 2 _ -e 3 _
e 13 e 13 −e 12 _ e 15 −e 14 _ e 9 e 8 e 11 - e 10 −e 5 _ - e 4 e 7 -e 6 _ e 1 −1 e 3 -e 2 _
e 14 e 14 − e 15 −e 12 _ e 13 e 10 - e 11 e 8 e 9 -e 6 _ - e 7 - e 4 e 5 e 2 -e 3 _ −1 e 1
e 15 e 15 e 14 − e 13 −e 12 _ e 11 e 10 - e 9 e 8 - e 7 e 6 −e 5 _ - e 4 e 3 e 2 -e 1 _ −1

Links