Tur

Drej (rotation) - bevægelsen af et fly eller rum , hvor mindst et punkt forbliver ubevægeligt.

Relaterede definitioner

Det faste punkt, når flyet roterer , kaldes rotationscentrum .
En fast ret linje, når man roterer tredimensionelt rum , kaldes rotationsaksen .

Korrekte og ukorrekte rotationer

Definitioner

En rotation kaldes egentlig, hvis den bevarer rummets orientering .

En anden definition af korrekt rotation for et plan er mulig: korrekt rotation af et plan er en bevægelse , hvor alle stråler, der udgår fra et givet punkt, roterer med den samme vinkel i samme retning (med eller mod uret).

En rotation kaldes ukorrekt , hvis den ikke er korrekt.

Ofte refererer udtrykket rotation kun til korrekt rotation .

Egenskaber

Ukorrekt rotation er en sammensætning af en vis korrekt rotation og spejlrefleksion (på en plan- aksial symmetri , i et ulige dimensionelt rum - centralt ).

For et hvilket som helst begrænset område af rummet kan dets korrekte drejning i forhold til ethvert punkt udføres således, at alle punkter i området ikke forskydes mere end en forudbestemt afstand, men for en forkert drejning holder denne erklæring op med at være sand.

Rotation i 2D-rum

I analytisk geometri på et plan er korrekt rotation i rektangulære kartesiske koordinater udtrykt ved formlerne:

x'=x\cos \varphi -y\sin\varphi ,

y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi ,

hvor er drejningsvinklen, og drejningscentret er valgt ved origo. Under de samme forhold udtrykkes den forkerte rotation af flyet med formlen $\varphi$

x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi ,

y'=x\sin \varphi -y\cos \varphi .

I planimetri betegnes drejning om et punkt [centrum] med en rotationsvinkel også med , hvor Rotation med en vinkel hvor og er identificeret med en rotation (drejningsvinklen med en hel vinkel kaldes ofte også en rotation ). Hvis vinklerne for rotationer og deres sum er inden for intervallet fra til , så tilføjes deres vinkler , når der udføres sekventielt ( sammensætning ) af rotationer (se også #Composition of rotations on a plan (complex view) ): $O$ $\alfa$ $R_{{O}}^{{\alpha }}$ $\alpha \in (-\pi ;\pi ].$
$\beta '=\alpha +2\pi \cdot n,$ $n\i \mathbb{Z }$ $\alpha \in (-\pi ;\pi ]$ $R_{{O}}^{{\alpha }}$ $2\pi ~(360^{\cirkel })$
$\alfa ,\beta$ $\alfa +\beta$ $-\pi$ $\pi,$

R_{{O}}^{{\beta }}\circ R_{{O}}^{{\alpha }}=R_{{O}}^{{\alpha +\beta }},

Desuden har sammensætningen af to rotationer kommutativitetsegenskaben:

R_{{O}}^{{\beta }}\circ R_{{O}}^({\alpha }}=R_{{O}}^{{\alpha }}\circ R_{{O}} ^{{\beta }}.

Se også Isometri (matematik)

Matrixvisning

Når du bruger matrix-tilgangen, skrives punktet som en vektor og ganges derefter med matricen: $(x,y)$

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

$(x',y')$ punktkoordinater opnået ved punktrotation . $(x,y)$

Vektorerne og har samme dimension. ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix))$

Kompleks visning

Rotationen af et plan kan repræsenteres ved hjælp af komplekse tal . Mættet af alle disse tal er geometrisk set et todimensionelt komplekst plan . Et punkt i planet er repræsenteret ved et komplekst tal . $(x,y)$ $z=x+iy$

Rotation af et punkt med en vinkel kan udføres ved at gange med Eulers formel $\theta$ $e^{{i\theta}}$

{\begin{aligned}e^{{i\theta }}z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x '+iy',\end{aligned}}

hvilket giver samme resultat

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned))

Sammensætning af sving på et plan (kompleks visning)

Lad først rotere rundt om punktet med en vinkel , og derefter rotere rundt om punktet med en vinkel . Og lad punkterne og blive repræsenteret som komplekse tal af formen . En rotation mod uret betragtes som positiv. En sådan sammensætning af rotationer svarer til rotation med en vinkel omkring punktet , som beregnes med formlen , $-en$ $\alfa$ $b$ $\beta$ $-en$ $b$ $x+iy$ $\gamma ~=\alpha +\beta$ $c$ $c=a+(ba)e^{i{\alpha '}}{\frac {\sin \alpha '}{\sin \gamma '}}$

hvor , a $\alpha '={\frac \alpha 2}$ $\gamma '={\frac \gamma 2}$

Hvis , så er sammensætningen af rotationer ækvivalent med en parallel forskydning af planet af vektoren $\alfa +\beta =0$ $r=(ba)(e^{{i\alpha }}-1)$

Egenskaber

Hvis rammen er bundet til rotationscentret, realiseres den af en ortogonal matrix .
- Rotationerne af det tredimensionelle euklidiske rum (med et fast center) danner O (3)-gruppen (de rigtige danner SO(3) -gruppen ).
- Rotationer af et todimensionelt rum ( plan ) danner henholdsvis grupperne O(2) og SO(2) (isomorf til U(1) ).

Noter

Se også

Rotationsbevægelse er en proces med kontinuerlig rotation i mekanik.
Rotationsgruppe
Rotationsmatrix
Ortogonal gruppe
Ortogonal transformation
Særlig ortogonal gruppe
Vinkelhastighed