Rationel funktion

En rationel funktion, eller en rationel brøkfunktion, eller en rationel brøk er en numerisk funktion , der kan repræsenteres som en brøk, hvis tæller og nævner er polynomier . , det vil sige et algebraisk udtryk , uden radikaler kan reduceres til denne form .

Formel definition

En rationel funktion [1] [2] , eller en rationel brøkfunktion [1] [3] , eller en rationel brøk [3] er en numerisk funktion af formen

\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),

hvor er komplekse ( ) eller reelle ( ) tal, er et rationelt udtryk for . Et rationelt udtryk er et matematisk udtryk, der er sammensat af en uafhængig variabel (kompleks eller reel) og et endeligt sæt tal (henholdsvis komplekse eller reelle) ved hjælp af et endeligt antal aritmetiske operationer (det vil sige addition , subtraktion , multiplikation , division og hævning ). til en heltalspotens ) [4] . $\mathbb {U}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R(u)$ $u$

En rationel funktion kan skrives (ikke entydigt) som et forhold mellem to polynomier og : $P(u)$ $Q(u)$

R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+ \cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},

hvor koefficienter for en rationel funktion er koefficienterne for polynomier og : $Q(u)\ikke \equiv 0.$ $P(u)$ $Q(u)$

a_{0},a_{1},a_{2},\dots,a_{n}

og [4] .

{\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m))

Særlige tilfælde

En hel rationel funktion er en funktion af formen

\mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1)),

hvor variablen er reel.

x

Fraktionel lineær funktion - forholdet mellem to lineære funktioner af en kompleks variabel:

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d)).

Cayley transformerer

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {zi}{z+i)).

Zhukovsky-funktionen er en rationel funktion af en kompleks variabel

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right ),

som har vigtige anvendelser inden for hydromekanik , opdaget af N. E. Zhukovsky [5] .

Generaliseringer

Rationelle funktioner af flere variable (komplekse eller reelle)

\mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n, m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m} )}},

hvor [4] .

Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})\ikke \equiv 0

Abstrakte rationelle funktioner

R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_ {2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},

hvor er et lineært uafhængigt system af kontinuerlige funktioner på nogle kompakte rum , og er numeriske koefficienter [4] .

{\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)))

A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},

{\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{m))

Reel rationel funktion

Irreducerbar rationel fraktion

En irreducerbar rationel brøk er en rationel brøk, hvor tælleren er relativt primtal i forhold til nævneren [3] .

Enhver rationel brøk er lig med en irreducerbar brøk, som er bestemt op til en konstant fælles for tælleren og nævneren. Ligheden af to rationelle brøker forstås på samme måde som ligheden af brøker i elementær matematik [3] .

Bevis

Først beviser vi, at hvis produktet af polynomier og er deleligt med , og og er coprime, så er det deleligt med $f(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ [6] .

1. Det er kendt, at polynomier og er relativt prime, hvis og kun hvis der er polynomier og sådan, at $f(x)$ $\varphi(x)$ $u(x)$ $v(x)$

f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.

2. Gang denne lighed med : $g(x)$

[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).

3. Begge udtryk i denne lighed er delelige med , er derfor også delelige med . $\varphi(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$

Nu vil vi ved at bruge dette bevise, at enhver rationel brøk er lig med en irreducerbar brøk, som er bestemt op til en konstant fælles for tælleren og nævneren [3] .

1. Enhver rationel brøk kan reduceres med den største fælles divisor af dens tæller og nævner.

2. Yderligere, hvis to irreducerbare fraktioner er ens:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))),

det er

f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).

derefter:

af gensidig enkelhed følger , at den er delelig med ; $f(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$
af cosimplicity følger , at er deleligt med . $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $f(x)$ $\varphi(x)$

Som et resultat får vi det $f(x)=c\varphi(x).$

3. Erstatter det sidste udtryk med det originale, får vi:

c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),

eller

g(x)=c\psi(x).

Så det fik vi

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x))).

Egen rationel brøk

En rationel brøk er rigtig, hvis tællerens grad er mindre end nævnerens grad. Nul polynomium 0 er en egen brøk. Enhver rationel brøk kan repræsenteres på en unik måde som summen af et polynomium og en egenbrøk [3] .

Bevis

Lad os bevise det sidste udsagn [3] .

1. For enhver rationel brøk , der dividerer tælleren med nævneren, får vi: ${\frac {f(x)}{g(x)))$

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

og graden er mindre end graden Divider begge sider af ligheden med , vi får, at en rationel brøk er summen af et polynomium og en egenbrøk: $r(x)$ $g(x).$ $g(x)$

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x))).

2. Lad os bevise det unikke ved denne fremstilling. Hvis følgende lighed også gælder:

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x))),

hvor også graden er mindre end graden , så trækker vi fra: $\varphi(x)$ $\psi (x)(x)$

q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)))= {\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x))).

3. Til venstre for den sidste lighed er et polynomium. Da graden er mindre end graden , og graden er mindre end graden , er der til højre for den sidste lighed en egentlig brøk, derfor $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $r(x)$ $g(x)$ $q(x)-q'(x)=0$

{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))-{\frac {r(x)}{g(x)))=0.

Den enkleste rationelle brøk

En egentlig rationel brøk er enklest , hvis dens nævner er graden af et irreducerbart polynomium : ${\frac {f(x)}{g(x)))$ $g(x)$ $p(x)$

g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,

og graden af tælleren er mindre end graden af . Der er to sætninger [3] . $f(x)$ $p(x)$

Hovedsætning. Enhver egentlig rationel brøk nedbrydes til en sum af simple brøker.
Unikitetssætning. Enhver egentlig rationel brøk har en unik udvidelse til en sum af simple brøker.

Dekomponering af en egentlig rationel brøk til en sum af simple brøker

Udvidelsen af en egentlig rationel brøk til en sum af simple brøker bruges i mange problemer, for eksempel:

ved integration [7] ;
når udvidet i en Taylor-serie [8] ;
når den blev udvidet i en Laurent-serie [9] ;
ved beregning af den inverse Laplace-transformation af en rationel brøk [10] .

Eksempel

Eksempel. Udvid en reel egenbrøk til en sum af simple brøker hvor [3] : ${\frac {f(x)}{g(x)))),$

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,

g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.

Løsning. 1. Det er nemt at tjekke det

g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),

og er irreducerbare. $x+2,$ $x-1,$ $x^{2}+1$

2. Lad os bruge metoden med ubestemte koefficienter . Det følger af hovedsætningen, at den ønskede udvidelse har følgende form:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}} }+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.

Det er tilbage at finde tallene , og $EN$ $b,$ $C,$ $D$ $E.$

3. Lad os reducere udvidelsesprojektet til en fællesnævner, vi får:

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=

=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+

+B(x+2)(x^{2}+1)+

+C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+

+Dx(x+2)(x-1)^{2}+

+E(x+2)(x-1)^{2}.

Du kan få et system med fem lineære ligninger med fem ukendte , og ligne koefficienterne ved de samme potenser fra begge dele af den sidste lighed. Desuden følger det af hovedsætningen og unikhedssætningen, at dette system med fem ligninger har en unik løsning. $EN$ $b,$ $C,$ $D$ $E,$ $x$

4. Lad os bruge en anden metode. Hvis vi antager , at vi opnår den sidste lighed , hvorfra . Hvis vi antager , at vi opnår , er det at antage uafhængigt , og vi opnår systemet $x=-2,$ $45A=135,$ $A=3.$ $x=1,$ $6B=6,$ $B=1.$ $x=0$ $x=-1,$

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.

Herfra Lad os få Systemet opstår $D=1.$ $x=2,$ $20C+4E=-52.$

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.

hvorfra _ $C=-2,$ $E=-3.$

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}} }-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.

Egenskaber

Ethvert udtryk, der kan opnås fra variable ved hjælp af fire aritmetiske operationer, er en rationel funktion. $x_1,\prikker,x_n$
Sættet af rationelle funktioner er lukket under aritmetiske operationer og sammensætningsoperationen , og er også et felt, hvis koefficienterne for polynomier hører til et eller andet felt.

Egne brøker

Enhver rationel brøkdel af polynomier med reelle koefficienter kan repræsenteres som summen af rationelle brøker, hvis nævnere er udtrykkene ( - reel rod ) eller (hvor den ikke har nogen reelle rødder), og graden ikke er større end multipliciteten af de tilsvarende rødder i polynomiet . På baggrund af dette udsagn er en sætning om integrerbarheden af en rationel brøk baseret. Ifølge den kan enhver rationel brøk integreres i elementære funktioner, hvilket gør klassen af rationelle brøker meget vigtig i matematisk analyse. $(xa)^{k}$ $-en$ $Q(x)$ $(x^{2}+px+q)^{k}$ $x^{2}+px+q$ $k$ $Q(x)$

Dette hænger sammen med metoden til at udvinde den rationelle del i antiderivatet fra den rationelle fraktion , som blev foreslået i 1844 af M. V. Ostrogradsky [11] .

Se også

Noter

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics , bind 2, 1979 , st. 387.
↑ Privalov I. I. Introduktion til teorien om funktioner for en kompleks variabel, 2009 , s. 226.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kurosh A. G. Course of Higher Algebra, 2021 , s. 161-165.
↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Mathematics , bind 4, 1984 , st. 917-918.
↑ Mathematical Encyclopedia , bind 2, 1979 , st. 426.
↑ Kurosh A. G. Course of Higher Algebra, 2021 , s. 141-142.
↑ Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I, 2019 , s. 292-295.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variabel, 1971 , s. 50-51.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variabel, 1971 , s. 62-63.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variabel, 1971 , s. 125.
↑ M. Ostrogradsky. De l'integration des fraktions rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Bd. IV. — Kol. 145-167, 286-300.

Litteratur

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funktioner af en kompleks variabel. operationel beregning. Teori om stabilitet. M.: Nauka, 1971. 255 s., 77 illustrationer, bibl. 15 titler.
Kurosh A. G. Et kursus i højere algebra: en lærebog for universiteter. 22. udg., ster. St. Petersborg: Lan, 2021. 431 s.: ill. ISBN 978-5-8114-6851-5 .
Matematisk encyklopædi : Ch. udg. I. M. Vinogradov , bind 2 D-Koo. M .: "Sovjetisk Encyklopædi", 1979. 1104 stb., Ill.
Matematisk encyklopædi : Ch. udg. I. M. Vinogradov , bind 4 Ok-Slo. M .: "Sovjetisk Encyklopædi", 1984. 1216 stb., Ill.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel: lærebog. 15. udg., ster. St. Petersborg: Lan, 2009. 432 s.: ill. ISBN 978-5-8114-0913-6 .
Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I. 10. udg., Rev. M.: MTsNMO, 2019. xii + 564 s., ill. 65, bibl. 54 titler 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (del I).