Cirkel af konvergens

Konvergenscirklen [1] af en potensrække er en cirkel af formen $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

D=\{z: |z-z_0| <R\}

... _

z\in\mathbb C

hvor serien konvergerer absolut , og uden for den, ved , divergerer . Med andre ord er konvergenscirklen for en potensrække det indre af rækkens sæt af konvergenspunkter. Konvergenscirklen kan degenerere til et tomt sæt når , og kan falde sammen med hele planet for variablen når . $|z-z_0|>R$ $R=0$ $z$ $R = \infty$

Konvergensradius

Konvergenscirklens radius kaldes seriens konvergensradius [1] .

Konvergensradius for Taylor-serien af en analytisk funktion er lig med afstanden fra centrum af serien til sættet af entalspunkter for funktionen og kan beregnes ved hjælp af Cauchy-Hadamard formlen :

{1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\højrepil \infty}} \, |a_n|^{1/n}

Denne formel er afledt af Cauchy-testen .

Ostrovsky-Hadamard-sætningen

Til power-serier

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

for hvilke næsten alle koefficienter er lig med nul, i den forstand, at sekvensen af koefficienter, der ikke er nul, opfylder $a_{k(i)}$

{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta

for nogle faste er en cirkel med et centrum og en radius lig med konvergensradius en naturlig grænse - den analytiske fortsættelse af funktionen defineret af en sådan række er umulig uden for cirklen. $\delta>0$ $z_{0}$

Litteratur

↑ 1 2 Fikhtengolts Grigory Mikhailovich. Forløb af differential- og integralregning - 2 bind . - 8. - Moskva: Fizmatlit, 2001-. - S. 557. - 864 s. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Se også

Analytisk fortsættelse