Elektrisk impedans

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. juni 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Elektrisk impedans ( kompleks elektrisk modstand [1] [2] ) ( engelsk impedans fra latin impedio "at forhindre") - kompleks modstand mellem to noder i et kredsløb eller et to-terminalt netværk for et harmonisk signal .

Begrebet og udtrykket blev introduceret af fysikeren og matematikeren O. Heaviside i 1886 [3] [4] .

Analogi med den elektriske modstand af en leder ved hjælp af eksemplet med en modstand

En modstand er et passivt element, der kun har aktiv modstand . Den reaktive komponent af modstandens komplekse modstand er nul, da forholdet mellem spændingen over modstanden og strømmen gennem den ikke afhænger af strøm-/ spændingsfrekvensen , og også fordi modstanden er et passivt element (fordi den gør ikke indeholder interne energikilder). Hvis en bestemt spænding påføres dens ender (tilslut en spændingskilde), så vil der strømme en elektrisk strøm gennem modstanden . Hvis en elektrisk strøm føres gennem modstanden ( tilslut en strømkilde ), vil der opstå et spændingsfald mellem ender af modstanden. se Ohms lov for kredsløbsafsnittet): $U$ $JEG.$ $jeg$ $U.$ $u,$ $jeg$

R={\frac {U}{I}}.

Anvendelse af begrebet " elektrisk modstand " på reaktive elementer ( induktor og kondensator ) ved jævnstrøm fører til det faktum, at:

modstanden af en ideel induktor har en tendens til nul:

hvis en jævnstrøm I føres gennem en ideel induktor , vil spændingsfaldet over spolen for enhver værdi af I være nul:

U=0;

R={\frac {U}{I}}={\frac {0}{I}}=0;

modstanden af en ideel kondensator har en tendens til uendelig :

hvis en konstant spænding påføres kondensatoren , vil strømmen gennem kondensatoren ved enhver værdi være nul:

u,

u,

I=0;

R={\frac {U}{I}}={\frac {U}{0}}=\infty .

Dette gælder kun for jævnstrøm og spænding . I tilfælde af påføring af vekselstrøm og spænding til det reaktive element er egenskaberne af de reaktive elementer væsentligt forskellige:

spændingen mellem induktorens terminaler er ikke nul;
strømmen, der løber gennem kondensatoren, vil ikke være nul.

Denne adfærd kan ikke beskrives i form af modstand for jævnstrøm , da modstand antager et konstant, tidsuafhængigt strøm-spændingsforhold, dvs. ingen faseforskydninger mellem strøm og spænding.

Det ville være praktisk at have en parameter svarende til den aktive modstand for reaktive elementer, som ville relatere strømmen og spændingen over dem, svarende til den aktive modstand i Ohms lovformel for jævnstrøm.

En sådan karakteristik kan introduceres, hvis vi betragter egenskaberne af reaktive elementer under indflydelse af harmoniske signaler på dem . I dette tilfælde er strømmen og spændingen forbundet med en vis konstant (svarende på en måde til aktiv modstand), som kaldes " elektrisk impedans " (eller blot " impedans "). Når man overvejer impedans, anvendes en kompleks repræsentation af harmoniske signaler, da det er i denne repræsentation, at både amplitude- og fasekarakteristika for harmoniske signaler og systemreaktioner på harmoniske effekter tages i betragtning samtidigt.

Definition

Impedans er forholdet mellem den komplekse amplitude af spændingen af et harmonisk signal, der påføres et to-terminalt netværk , og den komplekse amplitude af strømmen, der flyder gennem det to-terminale netværk i en stabil tilstand, det vil sige efter afslutningen af transienter. For lineære passive kredsløb med konstante parametre i konstant tilstand afhænger impedansen ikke af tid . Hvis tiden i det matematiske udtryk for impedansen ikke falder, så er begrebet impedans ikke anvendeligt for dette to-terminal netværk. ${\hat z}(j\omega)\;$ $t$

{\hat z}(j\omega )\;={\frac {{\hat u}(j\omega ,t)\;}{{\hat i}(j\omega ,t)\;}}= {\frac {U(\omega )e^{{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}}{I(\omega )e^{{j(\omega t+\phi _ {i}(\omega ))))}}={\frac {U(\omega )e^{{j\phi _{u}(\omega )}}}{I(\omega )e^{{ j\phi _{i}(\omega )}}}}={\frac {{\hat U}(j\omega )\;}{{\hat I}(j\omega )\;}}

(en)

Her:

$j$ — imaginær enhed [5] ;
$\omega$ - cyklisk (cirkulær) frekvens ;
$U(\omega ),~I(\omega )$ er spændings- og strømamplituderne af det harmoniske signal ved frekvensen $\omega ;$
$\phi _{u}(\omega ),~\phi _{i}(\omega )$ er spændings- og strømfaserne af det harmoniske signal ved frekvensen $\omega ;$
${\hat {U}}(j\omega ),~{\hat {I}}(j\omega )\;$ er de komplekse spændings- og strømamplituder af det harmoniske signal ved frekvensen $\omega.$

Historisk set i elektroteknik er betegnelsen af impedans, komplekse amplituder og andre komplekse frekvensfunktioner skrevet som og ikke. Denne betegnelse understreger, at komplekse repræsentationer af harmoniske funktioner af formen bruges. Derudover er et "hus" eller punkt: at skelne fra de tilsvarende reelle værdier. $f(j\omega ),$ $f(\omega).$ $e^{j\omega t}.$ ${\dot {U}}(j\omega )\;$

Fysisk betydning

Algebraisk form

Hvis vi betragter den komplekse impedans som et komplekst tal i algebraisk form, svarer den reelle del til aktiv modstand , og den imaginære del svarer til reaktiv . Det vil sige, at en to-terminal impedans kan betragtes som en serieforbundet modstand med modstand og et rent reaktivt element med impedans ${\hat z}(j\omega)\;$ $\Re ({\hat z}(j\omega ))$ $\Im ({\hat {z))(j\omega )).$

Overvejelse af den reelle del er nyttig ved beregning af den effekt, der spredes i et to-terminalt netværk, da strøm kun spredes ved den aktive modstand.

Trigonometrisk form

Hvis vi betragter impedans som et komplekst tal i trigonometrisk form, så svarer modulet til forholdet mellem spændings- og strømamplituder (faseforskydning tages ikke i betragtning), og argumentet svarer til faseforskydningen mellem strøm og spænding, dvs. hvor meget den aktuelle fase halter efter spændingsfasen eller leder .

Begrænsninger

Begrebet impedans i sin klassiske form er anvendeligt, hvis, når en harmonisk spænding påføres et to-terminalt netværk, strømmen forårsaget af denne spænding også er harmonisk af samme frekvens. Til dette er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det to-terminale netværk er lineært , og dets parametre ikke ændres med tiden, og transienterne slutter. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, kan impedansen ikke findes af følgende grund: det er umuligt at få et udtryk for impedansen, der ikke afhænger af tid, da faktoren i (1) ikke annulleres ved beregning af impedansen . $t,$ $e^{{j\omega t}}$

Men for lineære to-terminaler (for hvilke tidsafhængigheden er reduceret), afhænger impedansen stadig af frekvensen (bortset fra det tilfælde, hvor to-terminalen er reduceret til et kredsløb med kun modstande, og impedansen viser sig at være en reel værdi).

I praksis betyder det, at impedansen kan beregnes for ethvert to-terminalt netværk bestående af modstande, induktorer og kondensatorer, det vil sige ud fra lineære passive elementer. Impedansen er også velegnet til aktive kredsløb, der er lineære over en bred vifte af indgangssignaler (for eksempel kredsløb baseret på operationsforstærkere ). For kredsløb, hvis impedans ikke kan findes på grund af ovenstående begrænsning, kan det være nyttigt at finde impedansen i en lille signal tilnærmelse - for en uendelig lille signalamplitude for et bestemt driftspunkt . For at gøre dette skal du gå til det tilsvarende kredsløb og se efter impedansen for det.

Generaliseret s-plan impedans og Laplace-transformationen

Impedanserne defineret i form af den komplekse frekvens gør det muligt at beregne frekvensresponsen af et eller andet lineært kredsløb exciteret af et harmonisk signal, og kun i stabil tilstand. For at beregne kredsløbets reaktion på et signal, der ændrer sig vilkårligt over tid, bruges en generaliseret impedans - en funktion af en kompleks variabel , og kredsløbets reaktion i tidsdomænet beregnes gennem den inverse Laplace-transformation , og i sådanne beregninger, skal excitationssignalet fra den tidsmæssige repræsentation først konverteres til en kompleks repræsentation gennem den direkte Laplace-transformation: $j\omega ,$ $s=\sigma +j\omega$ $f_{in}(t)$ $F_{t}(s)$

F_{t}(s)=\int _{0}^{\infty }f_{in}(t)e^{-st}\,dt.

Systemets komplekse respons udtrykkes på den sædvanlige måde i form af den transformerede komplekse repræsentation af excitationssignalet og systemets komplekse overførselsfunktion $H(s):$

F_{t,H}(s)=H(s)\ F_{t}(s).

bipolar	Generaliseret impedans
Modstand	$R\,$
Induktor _	$sL\,$
Kondensator	${\frac {1}{sC}}\,$

Den komplekse overførselsfunktion beregnes ved den sædvanlige metode til beregning af elektriske kredsløb, for eksempel i henhold til Kirchhoff-reglerne erstattes generaliserede impedanser i formlerne som modstande. De generaliserede impedanser af passive to-terminal netværk er angivet i tabellen. For eksempel vil den generaliserede impedans af et kredsløb bestående af en modstand og en induktor forbundet i serie være $R+sL.$

Kredsløbsresponsen i tidsdomænet beregnes ved den inverse Laplace-transformation:

f_{F,H}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H(s)\ F_{t}(s)]={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}H(s)\ F_{t }(s)\,ds,

hvor er et eller andet reelt tal valgt fra betingelserne for konvergensen af integralet.

\sigma _{1}\

Et eksempel på beregning af tidsresponsen af et RC lavpasfilter på en trinforstyrrelse

Det enkleste 1. ordens lavpasfilter er vist på figuren og består af en modstand og en kondensator forbundet i serie, der danner en spændingsdeler for indgangssignalet, hvor udgangssignalet tages fra kondensatoren, den generaliserede komplekse forstærkning af f.eks . skillelinje: $H_{RC}(s)$

H_{RC}(s)={\frac {1/sC}{R+1/sC}}={\frac {1}{sRC+1}}={\frac {1}{sT+ en }},

hvor angivet er tidskonstanten for RC-kredsløbet.

T=RC

Det trinvise indgangssignal kan udtrykkes i form af Heaviside-funktionen $h(t):$

U_{in}(t)=U_{0}\ h(t),

hvor er trinamplituden.

U_{0}

Laplace transformation af indgangssignalet:

$F_{in}(s)={\mathcal {L}}[U_{0}\ h(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\ ,U_{0}\,h(t)\,dt=U_{0}/s.$

U_{out}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)]={\frac {1}{2\ pi j))\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}{\frac {1}{ sT+1}}\cdot {\frac {U_{0}}{s}}\,ds=U_{0}(1-e^{-t/T}).

Således opnås kredsløbets reaktion ved en nul begyndelsesbetingelse ( at ), det samme som ved anvendelse af en anden beregningsmetode, for eksempel fra løsningen af en almindelig differentialligning . $U_{C}=0$ $t = 0$

Til den praktiske anvendelse af beregningen af kredsløb (og andre beregninger) er der blevet udarbejdet detaljerede tabeller over de direkte og inverse Laplace-transformationer af mange funktioner, som ofte stødes på i beregninger.

Ved at kombinere Laplace-transformationen ved hjælp af dens egenskaber og Duhamel-integralet er det normalt relativt nemt at finde svar i tidsdomænet for en lang række lineære elektriske kredsløb.

Beregning af impedans

Ideelle elementer

Modstand

For en modstand er impedansen altid lig med dens modstand og afhænger ikke af frekvensen: $R$

z_{R}=R

(2)

Kondensator

Strømmen og spændingen for en kondensator er relateret til:

i(t)=C{\frac {dU}{dt)).

(3)

Heraf følger, at ved en spænding

{\displaystyle {\hat {u}}(j\omega ,t)=U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))))

(fire)

strømmen, der strømmer gennem kondensatoren vil være:

{\hat {i}}(j\omega ,t)=C{\frac {d}{dt}}\left(U(\omega)e^{j(\omega t+\phi _{u }(\omega ))}\right)=j\omega CU(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}.

(5)

Efter at have erstattet (4) og (5) i (1), får vi:

{\hat {z}}_{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}.

(6)

Induktor

En lignende overvejelse for en induktor fører til resultatet:

{\hat {z}}_{L}(j\omega )\;=j\omega L.

(7)

Generel sag

For et vilkårligt to-terminal netværk bestående af elementer med en kendt impedans, er det ikke nødvendigt at udføre ovenstående beregninger for at finde impedansen. Impedansen findes i henhold til de sædvanlige regler for beregning af modstanden af et komplekst kredsløb, det vil sige, at formler bruges til modstand med parallel- og serieforbindelse af modstande. I dette tilfælde udføres alle matematiske operationer i henhold til reglerne for operationer på komplekse tal. For eksempel ville impedansen af en ideel serieforbundet modstand, kondensator og induktor være:

{\hat {Z}}(j\omega )\ =R+{\frac {1}{j\omega C}}+j\omega L=R-{\frac {j}{\omega C} }+j\omega L=R+j\venstre(-{\frac {1}{\omega C}}+\omega L\right).

(otte)

Eksperimentel måling af impedans

Direkte måling af impedans kræver måling af amplituderne af den sinusformede spænding og strøm af det to-terminale netværk, der undersøges, og samtidig måling af faseforskydningen mellem dem.

Impedans måles også ofte ved kompensationsmetoder ved brug af AC-broer, svarende til Wheatstone-broen for DC, i sådanne målinger afbalanceres broen ved at ændre referencereaktive og aktive elementer, den målte impedans bestemmes af værdien af reaktansen og modstanden af de referenceelementer, der kræves for at balancere broen.

I strømenheder kan impedansmåling kræve samtidig måling og strømforsyning til den strømførende enhed.

Måling af impedansen af enheder og transmissionslinjer er en praktisk opgave inden for radioteknik og andre områder.

Impedansmålinger udføres normalt ved en enkelt frekvens, men hvis impedans versus frekvens er påkrævet, foretages målinger ved flere frekvenser over det ønskede frekvensområde.

De aktive og reaktive komponenter af impedansen er normalt udtrykt i ohm. Men for at karakterisere antenner , transmissionslinjer og mikrobølge elektroniske enheder er det normalt mere bekvemt at bruge de tilhørende S-parametre , stående bølgeforhold eller refleksionskoefficient .

Modstanden af en enhed kan beregnes ved at dividere den komplekse spænding og strøm. Enhedens impedans beregnes ved at påføre en sinusformet spænding på enheden i serie med en referencemodstand og måle spændingerne over modstanden og over enheden. Udførelse af denne måling ved flere frekvenser af testsignalet giver en bestemmelse af faseforskydningen og impedansværdien [6] .

Måling af det undersøgte kredsløbs respons på et pulseret testsignal kan bruges i kombination med den hurtige Fourier-transformation til at måle impedansen af forskellige elektriske enheder [6] .

En LCR-måler (induktans L, kapacitans C og modstand R) eller immitansmåler er en enhed, der almindeligvis bruges til at måle en komponents induktans, modstand og kapacitans. Ud fra disse værdier kan impedansen ved enhver frekvens beregnes.

Anvendelse af begrebet impedans

Indførelsen af en impedans gør det muligt at beskrive adfærden af et to-terminalt netværk med reaktive egenskaber, når det udsættes for et harmonisk signal. Hertil kommer, at i tilfælde af et ikke-harmonisk signal påføres impedansen lige så godt. Til dette anvendes Laplace-transformationen, eller signalet dekomponeres til spektralkomponenter ved hjælp af en Fourier-serie (eller Fourier-transformation ), og virkningen af hver spektralkomponent tages i betragtning. På grund af lineariteten af det to-terminale netværk er summen af svarene på de spektrale komponenter lig med svaret på det oprindelige ikke-harmoniske signal.

Se også

Noter

↑ GOST 19880-74 Elektroteknik. Basale koncepter. Begreber og definitioner . docs.cntd.ru. Hentet: 7. november 2018. (ubestemt)
↑ GOST R 52002-2003 Elektroteknik. Begreber og definitioner af grundlæggende begreber . docs.cntd.ru. Dato for adgang: 21. september 2020. (ubestemt)
↑ Videnskab , s. 18, 1888
↑ Oliver Heaviside. Elektrikerne. s. 212; 23. juli 1886 genoptrykt som elektriske papirer , p64, AMS Boghandel, ISBN 0-8218-3465-7
↑ I elektroteknik og elektronik er den imaginære enhed normalt betegnet med et symbol for at undgå forveksling med symbolet, der traditionelt bruges til at angive strømstyrke. $j,$ $jeg,$
↑ 1 2 George Lewis Jr. Omkostningseffektiv bredbånds elektrisk impedansspektroskopi målekredsløb og signalanalyse til piezo-materialer og ultralydstransducere // Måling Videnskab og teknologi : journal. - 2008. - August ( bind 19 , nr. 10 ). — S. 105102 . - doi : 10.1088/0957-0233/19/10/105102 . - . — PMID 19081773 .

Litteratur

Bessonov L. A. Teoretisk grundlag for elektroteknik. - 9. udg. - M . : Højere skole, 1996.
Grafov BM, Ukshe EA Elektrokemiske kredsløb med vekselstrøm. — M .: Nauka, 1983.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online) Treccani Universalis
I bibliografiske kataloger	GND : 4128475-6 J9U : 987007541087005171 LCCN : sh85064610 NDL : 00564146