Cayley-Dixon procedure

Cayley-Dixon- proceduren ( fordoblingsprocedure ) er en iterativ procedure til at konstruere algebraer over et felt (eller over en ring ), hvor dimensionen fordobles ved hvert trin. Opkaldt efter Arthur Cayley og Leonard Dixon .

Denne procedure gør det muligt at bygge successivt deres forlængelser ud fra reelle tal : komplekse tal , kvaternioner , oktonioner , sedenioner osv. Bruges også i Hurwitzs sætning til at finde alle normerede divisionsalgebraer . Så ifølge denne sætning er reelle tal , komplekse tal , quaternioner og oktonioner de eneste normerede divisionsalgebraer (over feltet af reelle tal).

Egenskaber af Cayley-Dixon Algebras

Algebra	Dimension ( n )	Ordenhed _	Multiplikationsegenskaber _				Fraværet af neutrale. nul divisorer
Algebra	Dimension ( n )	Ordenhed _	Kommutativitet _	Associativitet _	Alternativ _	Magtassociativitet _ _	Fraværet af neutrale. nul divisorer
Reelle tal ( ) $\mathbb {R}$	en	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja
Komplekse tal ( ) $\mathbb {C}$	2	Ikke	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja
Kvaternioner ( ) ${\mathbb {H}}$	fire	Ikke	Ikke	Ja	Ja	Ja	Ja
Oktonioner ( ) ${\mathbb {O}}$	otte	Ikke	Ikke	Ikke	Ja	Ja	Ja
Sedenioner ( ) $\mathbb{S}$	16	Ikke	Ikke	Ikke	Ikke	Ja	Ikke
	> 16	Ikke	Ikke	Ikke	Ikke	Ja	Ikke

Antallet af feltsymmetrier falder med hver anvendelse af Cayley-Dixon-proceduren: først forsvinder rækkefølgen , derefter kommutativiteten af multiplikationen, derefter associativiteten af multiplikationen og til sidst multiplikationens alternativhed (se tabel). Men samtidig bevarer alle algebraer multiplikationens potensassociativitet , og per definition [1] er de unitale , og deres multiplikation er distributiv med hensyn til addition .

I en mere generel forstand tager Cayley-Dixon-proceduren enhver algebra med en involution til en anden algebra med en involution dobbelt så stor som dimensionen [2] :45 .

Generel sag

Hvis der for nogle tal er begreber: multiplikation , konjugeret tal og talnorm som ( se kompositionsalgebra ), så kan disse begreber også introduceres for ordnede talpar : $-en$ $b$ $\ |a|^{2}=a{\bar {a}}$ $(a,b)$

$(a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})$ - loven om multiplikation af par,

${\overline {(a,b)))=({\bar {a)),-b)$ - konjugeret par.

Egenskaber

(udvidet) norm for et bestilt par:

|(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)= (a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2 }+|b|^{2}

— er kun lig med nul, når a = b = 0 .

Hvis den oprindelige algebra var en associativ divisionsalgebra , så er (udvidet) division defineret som eller , hvilket betyder, at den tidligere egenskab indebærer fravær af nuldelere . $\r/q$ ${\displaystyle {\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2))))$ ${\displaystyle {\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2))))$

Hvis dette er sandt for tal, gælder det for ordnede par: $\ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a)),$

{\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{ \bar {c)))=({\bar {c)),-d)({\bar {a)),-b)={\overline {(c,d)))\cdot {\overline { (a,b)}}.

Hvis den oprindelige algebra er associativ , normaliseres den udvidede algebra , fordi:

|rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)))=(rq)({\bar {q)){\bar {r)))=r(q{\bar {q))){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.

I det generelle tilfælde viser resultatet sig at være en ikke -associativ algebra.

Nedarvet

Hvis den oprindelige algebra har en enhed , så er (1, 0) en enhed i den udvidede algebra.

Hvis i den oprindelige algebra hvert element af formen x + x * eller x x * associerer og pendler med alle elementer, så er den udvidede algebra også. Især genererer ethvert element en kommutativ *-algebra , hvilket indebærer associativitetsegenskaben for potenser .

Svækket

Hvis den oprindelige algebra er kommutativ, og konjugationen er identisk , så er den udvidede algebra kommutativ.
Hvis den oprindelige algebra er kommutativ og associativ , så er den udvidede algebra associativ.
Hvis den oprindelige algebra er associativ, og i den oprindelige algebra pendler hvert element af formen x + x * eller x x * med alle elementer, så er den udvidede algebra alternativ .

Ved hjælp af eksemplet med tal kan man spore, hvordan feltet C (en *-algebra med ikke-triviel konjugation) er opnået fra feltet R med identisk konjugation , hvorfra en ikke-kommutativ *-algebra ( krop ) H opnås, hvorfra en ikke-associativ algebra O er opnået , men alternativ og normaliseret, således uden nul divisorer. Yderligere algebraer vil have nul divisorer, da multiplikation ikke længere vil være kompatibel med normen.

Ansøgninger

Komplekse tal

Cayley-Dixon-proceduren svarer til definitionen af komplekse tal som ordnede par af reelle tal.

Quaternions

Et vilkårligt kvaternion kan repræsenteres som eller tilsvarende, hvor er komplekse tal , da det gælder for både komplekse tal og kvaternioner, og . $\q=a+bi+cj+dk$ $\ q=(a+bi)+(c+di)j$ $\ q=z_{1}+z_{2}\cdot j,\quad z_{1}=a+b\cdot i,\quad z_{2}=c+d\cdot i,$ $\z_{1},z_{2}$ $\i^{2}=-1$ $k=i\cdot j$

Lad os tage en quaternion mere Ved at gange og udvide parenteserne (fordi multiplikationen af quaternion er associativ ), får vi: $\ r=w_{1}+w_{2}j.$

\ qr=(z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+ z_ {2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j.

Siden da, omarrangerer vi faktorerne , får vi: $\zj=j{\bar {z)),\;zw=wz,$ $\ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2))}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar { w_{1}}})j.$

Derfor kan kvaternioner defineres som udtryk for formen , der opfylder multiplikationsformlen ovenfor. Denne formel er interessant, fordi den udvider multiplikationsformlen for rent komplekse tal (dvs. kvaternioner med ). $\z_{1}+z_{2}\cdot j$ $z_{2}=w_{2}=0$

Generaliseringer

De foregående formler bygger hyperkomplekse systemer, når den " imaginære forlængelsesenhed" har et kvadrat svarende til " -1 ". Men når man opretter par, kan kvadratet af den nye "imaginære enhed" tages [3] som "+1" eller endda "0", og også den (udvidede) lov for parmultiplikation kan ændres (se Clifford algebra ). Sandt nok, så skal normen og konjugationerne (af forskellige typer) bygges vanskeligere, og ikke-trivielle nuldelere kan også opstå.

Noter

↑ Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Hyperkomplekse tal . - Moskva: Nauka , 1973. - S. 33-34. — 144 s. (Russisk)
↑ Schafer, Richard D. (1995), An introduction to non-associative algebras , Dover Publications , ISBN 0-486-68813-5 , < https://archive.org/details/introductiontono0000scha >
↑ Albert, Abraham Adrian . Kvadratiske former tillader sammensætning. Annals of Mathematics. Anden serie, bind. 43, s. 161-177

Links

Dickson, L.E. (1919), Om kvaternioner og deres generalisering og historien om de otte kvadraters sætning , Annals of Mathematics , Second Series (Annals of Mathematics). — T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865
HyperJeff skitserer historien om hyperkomplekse tal 1996–2006
I.L. Kantor, A.S. Solodovnikov. hyperkomplekse tal. - Moskva, "Nauka". - 1973.
E.A. Karataev "Hyperkomplekse tal. Klassificering"

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion