Casus irreducibilis

Casus irreducibilis ( latin for "ikke-reducerbar kasus") er et tilfælde, der kan opstå, når man løser en kubisk ligning med heltalskoefficienter , når rødderne er udtrykt ved radikaler . Nemlig, hvis et kubisk polynomium er irreducerbart over rationelle tal og har tre reelle rødder, så for at udtrykke rødderne gennem radikaler, skal man indføre komplekse værdisatte udtryk, selvom de resulterende værdier af udtrykkene er reelle. Dette blev bevist af Pierre Wantzel i 1843 [1] .

Diskriminerende af Cardanos formel

Det er muligt at bestemme, om et givet kubisk polynomium falder ind under casus irreducibilis -tilfældet ved hjælp af diskriminanten D fra Cardanos formel [2] [3] . Lad den kubiske ligning være givet som

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,

Diskriminanten D , der opstår i den algebraiske løsning, er givet ved formlen

D=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.\,

Hvis , Så har polynomiet to komplekse rødder, så dette tilfælde falder ikke ind under casus irreducibilis . $D<0$
Hvis , så er der tre rigtige rødder, to af dem er lige store og kan findes ved hjælp af Euklids algoritme og formlen for andengradsligningen . Alle rødder er ægte og udtrykkes af rigtige radikaler. Polynomiet er ikke irreducerbart. $D=0$
Hvis , så er der tre forskellige rødder. Enten er der en rationel rod, som kan findes ved hjælp af rationelle rødder teorem , i hvilket tilfælde det kubiske polynomium kan dekomponeres i lineære og kvadratiske polynomier, rødderne af den anden kan findes ved hjælp af formlen for rødderne af en andengradsligning . Eller der er ingen sådan nedbrydning, så polynomiet falder ind under casus irreducibilis - alle rødder er reelle, men komplekse tal er nødvendige for at udtrykke rødderne i radikaler. $D>0$

Formel erklæring og bevis

Antag mere generelt, at F er et formelt reelt felt og p ( x ) ∈ F [ x ] er et kubisk polynomium, der er irreducerbart over F , men som har tre reelle rødder (rødder i den reelle lukning af F ). Casus irreducibilis siger så , at det er umuligt at finde nogen løsning på ligningen p ( x ) = 0 i reelle radikaler.

For at bevise dette [4] skal du bemærke, at diskriminanten D er positiv. Vi danner feltudvidelsen . Da det vil være enten F eller en kvadratisk forlængelse af feltet F (afhængigt af om D er et kvadrat i feltet F ), forbliver det irreducerbart i det. Derfor er Galois-gruppen over en cyklisk gruppe . Lad os antage, at ligningen kan løses i reelle radikaler. Så kan vi splitte os i et tårn af cykliske forlængelser $F({\sqrt {D)))$ $p(x)$ $p(x)$ $F({\sqrt {D)))$ $C_{3}$ $p(x)=0$ $p(x)$

F\subset F({\sqrt {D)))\subset F({\sqrt {D)),{\sqrt[{p_{1))]{\alpha _{1))})\ delmængde \cdots \delmængde K\delmængde K({\sqrt[{3}]{\alpha )))

På det endelige niveau af tårnet, er irreducerbar i næstsidste felt K , men nedbrydelig i K ( 3 √ α ) for nogle α . Men dette er en forlængelse af det cykliske felt og skal derfor indeholde en primitiv enhedsrod . $p(x)$

Der er dog ingen primitiv tredje rod til enhed i et virkeligt lukket felt. Antag faktisk, at ω er en primitiv tredje rod til enhed. I henhold til aksiomerne, der definerer det ordnede felt , er ω, ω 2 og 1 alle positive. Men hvis ω 2 >ω, vil kvadrering give 1>1, en modsigelse. Vi får også en modsigelse i tilfældet ω>ω 2 .

Løsning i uvirkelige radikaler

Cardanos beslutning

Ligningen kan reduceres til det reducerede trinomium ved at dividere med og substituere ( Tschirnhaus Transform ), hvilket giver ligningen , hvor $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ $-en$ $x=t-{\tfrac {b}{3a))$ $t^{3}+pt+q=0$

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Derefter, uanset antallet af rigtige rødder, ifølge Cardano-metoden, er tre rødder givet ved ligningen

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{ 3} \over 27}}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \ over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}

hvor ( k =1, 2, 3) er terningroden af 1 ( , , og , hvor i er den imaginære enhed ). Hvis de radikale udtryk under terningroden ikke er reelle, er terningrødderne udtrykt af radikaler, der er defineret af parret af komplekse konjugerede terningrødder , mens når de er reelle, er disse terningrødder defineret af de reelle terningrødder. ${\displaystyle \omega _{k))$ $\omega _{1}=1$ $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$

Casus irreducibilis opstår, når ingen af rødderne er rationelle, og når alle tre rødder er forskellige og virkelige. Tilfældet, hvor alle tre reelle rødder er forskellige, opstår, hvis og kun hvis . I dette tilfælde tager Cardanos formel først kvadratroden af det negative tal, som giver det imaginære tal, og tager derefter terningroden af det komplekse tal (denne terningrod kan ikke opnås eksplicit i reelle rødder for α og β , da forsøg på at udtrykke på denne måde kræver løsning af den oprindelige kubiske ligning). Bemærk, at selv i det reducerbare tilfælde, hvor en af de tre rødder er rationel, og polynomiet derfor kan udvides ved at dividere polynomier med en kolonne , udtrykker Cardanos formel (eventuelt i dette tilfælde) denne rod (og andre) mht. ikke-rigtige radikaler. ${\tfrac {q^{2}}{4}}+{\tfrac {p^{3}}{27}}<0$ $\alpha +\beta i$

Eksempel

Reduceret kubikligning

x^{3}-3x+1=0

irreducerbar, da hvis den kunne faktoriseres, ville der være en lineær faktor, der giver en rationel løsning, mens der ved rationelle rødder ikke er nogen rationel rod. Da diskriminanten af polynomiet er positiv, har ligningen tre reelle rødder, så dette er et eksempel på casus irreducibilis . Cardanos formel giver disse tre rigtige rødder

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}+{\sqrt {-3 \over 4))))+\omega _{k }^{2}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}-{\sqrt {-3 \over 4))))

for k =1, 2, 3. Denne radikale løsning bruger det imaginære tal , og derfor terningrødderne af konjugerede komplekse tal . ${\sqrt {-3 \over 4}}$

Ikke-algebraisk løsning i form af reelle mængder

Mens tilfældet med casus irreducibilis ikke kan løses i radikaler i form af reelle værdier, kan løsningen findes trigonometrisk [ 5] . Den reducerede kubikligning har nemlig løsninger $t^{3}+pt+q=0$

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3))))\cos \left({\frac {1}{3))\arccos \left({\frac { 3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad

til

\quad k=0,1,2\,.

Disse løsninger udtrykkes i form af reelle tal, hvis og kun hvis når - det vil sige, hvis og kun hvis der er tre reelle rødder. Ifølge formlen beregnes først en bestemt vinkel, derefter divideres denne vinkel med tre, og derefter beregnes cosinus for den resulterende vinkel og til sidst ganges med normaliseringsfaktoren. ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$

Forbindelse med tredeling af en vinkel

Forskellen mellem de reducerbare og irreducerbare tilfælde med tre reelle rødder er relateret til muligheden eller umuligheden af at opdele en vinkel med en rationel sinus eller cosinus i tre lige store dele ved hjælp af den klassiske kompas- og straightedge-konstruktion . Hvis man ved, at cosinus af vinklen θ har en vis rationel værdi, så har en tredjedel af denne vinkel en cosinus, som er en af ligningens tre rødder

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

På samme måde, hvis sinus af vinklen θ vides at have en vis rationel værdi, så har en tredjedel af denne vinkel en sinus, som er en af de tre rødder af ligningen

-4y^{3}+3y-\sin(\theta )=0.

I begge tilfælde, hvis en rationel rod af ligningen kan opnås fra rationelle rødder-sætningen, kan x eller y minus denne rod udtrækkes fra polynomiet på venstre side af ligningen, hvilket efterlader en andengradsligning, der kan løses for at opnå de resterende to rødder. Så fås alle disse rødder ved den klassiske konstruktion, da de kan udtrykkes i kvadratrødder, så eller er konstruerbare, og så er den tilsvarende vinkel også konstruerbar . På den anden side, hvis rationelle rødder-sætningen viser, at der ikke er nogen rationelle rødder, så får vi casus irreducibilis , eller kan ikke konstrueres, vinklen kan ikke konstrueres , og det er umuligt at opnå en tredeling af vinklen θ ved klassiske metoder . $\cos({\tfrac {\Theta }{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta }{3)))$ ${\tfrac {\Theta }{3}}$ $\cos({\tfrac {\Theta }{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta }{3)))$ ${\tfrac {\Theta }{3}}$

Generalisering

Casus irreducibilis kan generaliseres til højere potenser af polynomier som følger. Lad p ∈ F [ x ] være et irreducerbart polynomium, der nedbrydes i en formel reel forlængelse R af feltet F (dvs. p har kun reelle rødder). Antag , at p har en rod ved , som er en forlængelse af F med radikaler. Så er p -potensen en potens af 2, og dets opdelingsfelt er en itereret kvadratisk forlængelse af feltet F [6] [7] . $K\subseteq R$

Så for ethvert irreducerbart polynomium, hvis grad ikke er en potens af 2, og hvis rødder alle er reelle, kan rødderne ikke udtrykkes udelukkende i form af reelle radikaler. Desuden, hvis graden af et polynomium er en grad på 2, og alle rødderne er reelle, så hvis der er en rod, der kan udtrykkes i reelle radikaler, kan den udtrykkes i form af kvadratrødder og ingen rødder af større grad, hvilket gælder for andre rødder. Så rødderne af et sådant polynomium er klassisk konstruerbare .

Casus irreducibilis for en funktion af den femte grad er diskuteret i Dummits artikel [8]

Noter

↑ Wantzel, 1843 , s. 117-127.
↑ Cox, 2012 , s. 15, Sætning 1.3.1.
↑ Badiru, Omitaomu, 1952 , s. 2-22.
↑ van der Waerden, 1949 , s. 180.
↑ Cox, 2012 , s. 18–19 Afsnit 1.3B Trigonometrisk opløsning af kubikken.
↑ Cox, 2012 , s. 222 Sætning 8.6.5.
↑ Isaacs, 1985 , s. 571-572.
↑ David S. Dummit Solving Solvable Quintics Arkiveret 7. marts 2012 på Wayback Machine , side 17

Litteratur

Pierre Wantzel. Klassifikation des nombres incommensurables d'origine algébrique (fransk) // Nouvelles Annales de Mathématiques . - 1843. - Bd. 2 . — S. 117–127 .
BL van der Waerden. Moderne algebra . — Frederick Ungar Publ. Co., 1949. - S. 180 .
- B.L. van der Waerden. Algebra. - M . : "Mir", 1976.
David A. Cox. Afsnit 1.3B Trigonometrisk løsning af kubikken // Galois-teorien. - Wiley-Interscience, 2012. - (Ren og anvendt matematik). - ISBN 0-471-43419-1 .
Adedeji B. Badiru, Olufemi A. Omitaomu. Håndbog i industritekniske ligninger, formler og beregninger / Adedeji B. Badiru. - CRC Press, 1952. - (Industrial Innovation Series). — ISBN 978-1-4200-7627-1 .
David A. Cox. Galois teori. — 2. - John Wiley & Sons, 2012. - (Ren og anvendt matematik). — ISBN 978-1-118-07205-9 . - doi : 10.1002/9781118218457 . . Se især afsnit 1.3 Kubiske ligninger over de reelle tal (s. 15–22) og afsnit 8.6 The Casus Irreducibilis (s. 220–227).
Bartel Leendert van der Waerden . Modern Algebra I. - Springer, 2003. - ISBN 978-0-387-40624-4 .
I.M. Isaacs. Løsning af polynomier ved reelle radikaler // American Mathematical Monthly . - 1985. - Oktober ( bind 92 , hæfte 8 ).