Irreducerbart polynomium

Et irreducerbart polynomium er et polynomium , der ikke kan dekomponeres til ikke-trivielle (det vil sige ikke konstante) polynomier. Irreducible polynomier er irreducible elementer i en polynomial ring .

Egenskaben irreducerbarhed afhænger af ringen (feltet) af koefficienter (se eksempelafsnittet).

Definition

Et polynomium i variable over et felt siges at være irreducerbart over et felt, hvis det er et simpelt element i ringen , dvs. det er ikke en konstant og kan ikke repræsenteres som et produkt , hvor og er polynomier med koefficienter fra , som er forskellige fra konstanter. $p(x_{1},x_{2},..,x_{n})$ $n$ $k$ $k$ $k[x_{1},x_{2},..,x_{n}]$ $p=qr$ $q$ $r$ $k$

Et polynomium, der er irreducerbart over en integralring, er defineret på samme måde .

Et polynomium siges at være absolut irreducerbart , hvis det er irreducerbart over den algebraiske lukning af koefficientfeltet. Absolut irreducerbare polynomier af én variabel er polynomier af 1. grad og kun de. I tilfælde af flere variable er der absolut irreducerbare polynomier af vilkårlig høj grad - for eksempel et hvilket som helst polynomium af formen

p(x_{1},x_{2},..,x_{{n-1}})+x_{n}

absolut irreducerbar.

Rødderne af et irreducerbart polynomium kaldes konjugat .

Egenskaber

Polynomialringen er faktoriel : ethvert polynomium nedbrydes til et produkt af irreducerbare polynomier, og denne dekomponering er unikt defineret op til konstante faktorer og faktorernes rækkefølge. $k[x_1,x_2..,x_n]$
Over feltet af reelle tal har ethvert irreducerbart polynomium i en variabel grad 1 eller 2, og et 2. grads polynomium er irreducerbart, hvis og kun hvis det har en negativ diskriminant . Faktisk har ethvert reelt polynomium, der ikke har reelle rødder (hvilket kun er muligt for lige grader) mindst én rent kompleks rod , og så er roden af dette polynomium elementet konjugeret til denne rod ; derfor er dette polynomium deleligt med det reelle polynomium , som for et polynomium af grad 3 eller højere betyder reducerbart. $z$ ${\overline {z}}\neq z$ $(xz)(x-{\overline {z)))$
Over ethvert felt af algebraiske tal eksisterer der et irreducerbart polynomium af enhver forudbestemt grad; for eksempel er polynomiet , hvor og er et eller andet primtal, irreducerbart på grund af Eisenstein-kriteriet . $x^{n}+px+p$ $n>1$ $s$
Et irreducerbart polynomium over et felt med karakteristisk 0 kan ikke have flere rødder hverken i dette felt eller i nogen af dets forlængelser.
Hvis er et endeligt felt af elementer, og er et naturligt tal, så eksisterer der mindst et irreducerbart polynomium af grad n fra . $k=F_{q}$ $q$ $n$ $k[x]$
Antag, at det er en integreret lukket ring med et felt af kvotienter (for eksempel , og ) og er et polynomium af en variabel med ledende koefficient 1, derefter i , og og har ledende koefficient 1, så . $EN$ $k$ $A=\mathbb{Z}$ $k={\mathbb Q}$ $p\in A[x]$ $p=qr$ $k[x]$ $q$ $r$ $q,r\i A[x]$
Reduktionskriterium for irreducerbarhed. Lad en homomorfi af integritetsdomæner gives . Hvis graden af polynomiet falder sammen med graden af polynomiet og er irreducerbar over feltet af kvotienter , så er der ingen dekomponering , hvor og er forskellig fra en konstant. $\sigma :A\til B$ $\sigma (p)$ $s$ $\sigma (p)$ $B$ $p=qr$ $p,r\i A[x]$
- For eksempel er et polynomium med en førende koefficient simpelt i (og derfor irreducerbart i ), hvis polynomiet opnået ved reduktionen af koefficienterne modulo et primtal er simpelt. $s$ $en$ $\mathbb {Z} [x]$ ${\mathbb Q}[x]$ $\sigma (p)$ $s$

Eksempler

De følgende fem polynomier demonstrerer nogle elementære egenskaber ved irreducerbare polynomier:

p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2))

p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}

p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)

p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2)))(x+{\sqrt {2)))

p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}

, hvor .

i^{2}

={-1}

Over ringen af heltal er de to første polynomier reducerbare, de sidste to er irreducerbare. (Den tredje er slet ikke et polynomium over heltal). $\mathbb {Z}$

Over feltet af rationelle tal er de første tre polynomier reducerbare, de to andre er irreducerbare. $\mathbb {Q}$

Over feltet af reelle tal er de første fire polynomier reducerbare, men er irreducerbare. Inden for reelle tal er lineære polynomier og kvadratiske polynomier uden reelle rødder irreducerbare. For eksempel har udvidelsen af et polynomium i feltet af reelle tal formen . Begge faktorer i denne udvidelse er irreducerbare polynomier. $\mathbb {R}$ $p_{5}(x)$ $x^{4}+1$ $(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1)$

Over feltet af komplekse tal er alle fem polynomier reducerbare. Faktisk kan hvert ikke-konstant polynomium over faktoriseres i formen: $\mathbb {C}$ $p(x)$ $\mathbb {C}$

p(x)=a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})

hvor er graden af polynomiet , er den førende koefficient, er rødderne af . Derfor er de eneste irreducerbare polynomier over lineære polynomier ( Fundamental Theorem of Algebra ). $\n$ $\en$ $\ z_{1},\ldots ,z_{n}$ $\p(x)$ $\mathbb {C}$

Slutfelter

Polynomier med heltalskoefficienter, der er irreducerbare over et felt , kan reduceres over et begrænset felt . For eksempel er polynomiet irreducerbart over , men over et felt med to elementer har vi: $\mathbb {Q}$ $x^{2}+1$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {F} _{2}$

(x^{2}+1)=(x+1)^{2}.

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Mir, 1976. — 648 s.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. — M .: IL, 1963.