Ukorrekt integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. august 2021; checks kræver 5 redigeringer .

Et bestemt integral kaldes uegentligt , hvis mindst en af følgende betingelser er opfyldt.

Integrationsområdet er uendeligt. For eksempel er et uendeligt spænd . $[a,+\infty)$
Funktionen er ubegrænset i nærheden af nogle punkter i integrationsdomænet. $f(x)$

Hvis intervallet er endeligt, og funktionen er Riemann-integrerbar , så falder værdien af det ukorrekte integral sammen med værdien af det bestemte integral . $[a,b]$

Ukorrekte integraler af den første slags

Lade være defineret og kontinuerlig på intervallet og . Derefter: $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Hvis , så bruges notationen og integralet kaldes et uegentligt Riemann-integral af den første slags . I dette tilfælde kaldes konvergent. $\eksisterer \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$
Hvis der ikke er nogen endelig ( eller ), kaldes integralet divergent til " ", " " eller simpelthen divergent. $\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\neksisterer$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Lad være defineret og kontinuerlig på settet fra og . Derefter: $f(x)$ $(-\infty,b]$ $\forall B < b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx$

Hvis , så bruges notationen og integralet kaldes et uegentligt Riemann-integral af den første slags . I dette tilfælde kaldes konvergent. $\exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$
Hvis der ikke er nogen endelig ( eller ), kaldes integralet divergent til " ", " " eller simpelthen divergent. $\lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\neksisterer$ $\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Hvis funktionen er defineret og kontinuerlig på hele den reelle linje, kan der være et ukorrekt integral af denne funktion med to uendelige grænser for integration, som bestemmes af formlen: $f(x)$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+ \infty} f(x)dx$ , hvor c er et vilkårligt tal.

Den geometriske betydning af et uegentligt integral af den første slags

Det ukorrekte integral af den første slags udtrykker arealet af en uendelig lang buet trapez.

Eksempler

$\int \limits _{-\infty }^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^ {-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{ a}^{-1}=1+\lim _{a\to -\infty }{\frac {1}{a}}=1+0=1$

Ukorrekte integraler af den anden slags

Lad er defineret på , lider en uendelig diskontinuitet i punktet x = a og . Derefter: $f(x)$ $(a,b]$ $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Hvis , så bruges notationen og integralet kaldes et uegentligt Riemann-integral af den anden slags . I dette tilfælde kaldes integralet konvergent. $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Hvis eller , så er betegnelsen bevaret, men kaldes divergent til " ", " " eller simpelthen divergent. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\neksisterer)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Lad er defineret på , lider en uendelig diskontinuitet for x = b og . Derefter: $f(x)$ $[a, b)$ $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Hvis , så bruges notationen og integralet kaldes et uegentligt Riemann-integral af den anden slags . I dette tilfælde kaldes integralet konvergent. $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Hvis eller , så er betegnelsen bevaret, men kaldes divergent til " ", " " eller simpelthen divergent. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\neksisterer)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Hvis funktionen lider af en diskontinuitet i et internt punkt i segmentet , bestemmes det ukorrekte integral af den anden slags af formlen: $f(x)$ $c$ $[a;b]$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b} f(x)dx.$

Den geometriske betydning af uegentlige integraler af den anden slags

Et ukorrekt integral af den anden slags udtrykker arealet af en uendelig høj krumlinjet trapez.

Eksempel

$\int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln|x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty$

Enkelt tilfælde

Lad funktionen være defineret på hele den reelle akse og have en diskontinuitet i punkter . $f(x)$ $x_1,x_2,\dots,x_k$

Så kan vi finde det forkerte integral $\int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k -1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx$

Cauchy kriterium

1. Lad være defineret på sættet fra og . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Derefter konvergerer

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\,\int \limits _{ A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

2. Lad være defineret på og . $f(x)$ $(a,b]$ $\forall \delta >0\ \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx$

Derefter konvergerer

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon )>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left |\,\int \limits _{a+\delta _{1}}^{a+\delta _{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

Absolut konvergens

Et integral kaldes absolut konvergent , hvis det konvergerer. Hvis et integral konvergerer absolut, så konvergerer det. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right)$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)$

Betinget konvergens

Et integral kaldes betinget konvergent, hvis det konvergerer, men divergerer. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \$

Se også

Riemann integral
Lebesgue integral
Den samokiske metode er en numerisk metode til at beregne integraler med singulariteter.

Litteratur

Dmitry Skrevet. Forelæsningsnotater om højere matematik, del 1. - Iris Press, 2007. - S. 233-237.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer