Bestilt felt

Et ordnet felt er et algebraisk felt , for alle elementer, hvoraf en lineær rækkefølge er defineret , i overensstemmelse med feltets operationer. De mest praktisk vigtige eksempler er felterne med rationelle og reelle tal . Udtrykket blev foreslået af Artin i 1927.

Definition

Lad være et algebraisk felt og en lineær rækkefølge er defineret for dets elementer , det vil sige en relation (mindre end eller lig med) er givet med følgende egenskaber: $F$ $\leqslant$

Refleksivitet :. _ $x \leqslant x$
Transitivitet : hvis og , så . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymmetri : hvis og , så . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linearitet: alle elementer er sammenlignelige med hinanden, det vil sige enten , eller . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Derudover kræver vi, at rækkefølgen er i overensstemmelse med operationerne med addition og multiplikation:

Hvis , så for enhver z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Hvis og , så . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Hvis alle 6 aksiomer er opfyldt, kaldes feltet ordnet . $F$

Relaterede definitioner

For at lette notationen introduceres yderligere sekundære relationer:

Et forhold større end eller lig med : betyder at .

x\geqslant y

y\leqslant x

Forholdet større end : betyder at og .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Et forhold mindre end : betyder at .

x<y

y>x

En formel med en af disse 4 sammenhænge kaldes en ulighed .
Elementer større end nul kaldes positive , mens de mindre end nul kaldes negative . Du kan også definere den absolutte værdi af et element som . $|x|$ $x$ $max(x, -x)$

Konstruktiv konstruktion af ordren

En måde at definere en lineær rækkefølge i et felt F er at udskille en delmængde af positive tal P i det , der er lukket under addition og multiplikation og har følgende egenskab. de tre delmængder , nul og skærer ikke hinanden og danner tilsammen en partition af hele feltet. $P$ $-P$

Lad et sådant P skelnes. Betegn (dette sæt er også lukket under addition og multiplikation) og definer en lineær rækkefølge i F som følger: $P_0 =P \kop \{0\}$

x \leqslant y

, hvis

yx \i P_0

Alle ovenstående ordensaksiomer er da opfyldt. Ethvert bestilt felt kan konstrueres ved hjælp af den beskrevne procedure.

Egenskaber

Hvert element i et ordnet felt tilhører én og kun én af tre kategorier: positiv, negativ, nul. Hvis det er positivt, så negativt og omvendt. $x$ $-x$
I ethvert ordnet felt , og kvadratet af ethvert element, der ikke er nul, er positivt. $1>0$
Lignende uligheder kan tilføjes:

Hvis og , så .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Uligheder kan ganges med positive elementer:

Hvis og , så .

x \leqslant y

c \geqslant 0

cx\leqslant cy

Ikke-unik rækkefølge

Generelt kan en mark bestilles på mange måder. Eksempel: overvej et felt med tal af formen , hvor er rationelle tal. Ud over den sædvanlige rækkefølge kan dette felt også defineres som følger: lad os inkludere de tal, for hvilke . Det er let at kontrollere, at betingelserne i afsnittet om bestillingens konstruktive opbygning er opfyldt [1] . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b$ $P$ $a+b{\sqrt {2}}$ $a>b{\sqrt {2}}$

Placer i hierarkiet af algebraiske strukturer

Et underfelt til et ordnet felt arver sin overordnede rækkefølge og er derfor også et ordnet felt.
Karakteristikken for et ordnet felt er altid nul.
- Især tillader et begrænset felt ingen rækkefølge.
Et felt tillader bestilling, hvis og kun hvis det ikke kan repræsenteres som summen af kvadraterne af feltets elementer. Derfor kan man ikke udvide den reelle rækkefølge til komplekse tal . $-en$
Det mindste ordnede felt er det rationelle talfelt , som kun kan bestilles på én måde. Dette eller et rationelt felt, der er isomorft til det, er indeholdt som et underfelt i et hvilket som helst andet ordnet felt.
Hvis et ordnet felt ikke indeholder et element, der er større end alle elementerne i et rationelt felt, kaldes feltet Archimedean [2] . Det maksimale arkimediske ordnede felt er feltet med reelle tal ; ethvert andet arkimedisk ordnet felt er isomorft i forhold til et af underfelterne . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Ethvert ordnet felt kan indlejres i et ordnet felt med surrealistiske tal med bevaret rækkefølge.

Eksempler

Rationelle tal
Reelle tal
Reelle algebraiske tal
Felt af reelle rationelle funktioner : , hvor er polynomier , . Lad os arrangere det som følger. ${\frac {p(x)}{q(x)))$ $p(x),q(x)$ $q(x)\neq 0$
- Lad Vi antage, at funktionen , hvis . Reelle konstanter (som nulte ordens polynomier) er således ordnet på traditionel vis. $p(x)=p_{0}x^{n}+\dots +p_{n};\quad q(x)=q_{0}x^{m}+\dots +q_{m} .$ ${\frac {p(x)}{q(x)}}>0$ ${\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0$
- Det følger af definitionen, at polynomiet er større end enhver konstant, det vil sige, at
Arkimedes' aksiom ikke holder for dette felt, feltet er ikke-arkimedisk. Det samme felt tillader også en arkimedisk orden, for eksempel, hvis vi betragter de funktioner (brøker) som [3] som positive . $p(x)=x$ $r(x)$ $r(\pi)>0$

Hyperreale tal er et andet eksempel på et ikke-arkimedisk felt.

Som nævnt ovenfor tillader feltet med komplekse tal ikke en rækkefølge, der udvider rækkefølgen af de reelle tal. Nogle komplekse underfelter kan dog bestilles. Overvej for eksempel et felt, der er genereret ved at tilføje et tal til feltet af rationelle tal - en af polynomiets komplekse rødder . Dette felt er isomorft i forhold til det reelle felt , så den sædvanlige reelle rækkefølge kan overføres til det [3]

\mathbb{Q}[\theta]

\mathbb {Q}

\theta

x^{3}-2

\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]

Eksempler på uordnede felter

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Polynomier og felter. Ordnede grupper. Moskva: Nauka, 1965.
Van der Waerden B. L. Algebra. 2. udg., M.: Nauka, 1979, 469 s.
Leng S. Algebra. M: Mir, 1968.
Nechaev V. I. Numeriske systemer. - M . : Uddannelse, 1975. - 199 s. .

Noter

↑ Nechaev V.I. Numerical systems, 1975 , s. 93.
↑ Nechaev V.I. Numerical systems, 1975 , s. 93-94.
↑ 1 2 Nechaev V. I. Numerical systems, 1975 , s. 94.