E (nummer)

Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π
Notation	Antal score $e$
Binær	10.101101111110000101010001011001…
Decimal	2,7182818284590452353602874713527…
Hexadecimal	2,B7E151628AED2A6A…
Sexagesimal	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Rationelle Approksimationer	8/3 ; _ _ 11/4 ; _ _ 19/7 ; _ _ 87/32 ; _ _ 106/39 ; _ _ 193/71 ; _ _ 1264/465 ; _ _ 2721/1001 ; _ _ 23225 / 8544 (opført i rækkefølge efter stigende nøjagtighed)
Fortsat brøkdel	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Denne fortsatte brøk er ikke periodisk . Skrevet i lineær notation)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 76839642 43 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 935403

Første 1000 decimaler af e [1]

(sekvens A001113 i OEIS )

$e$ - basis af den naturlige logaritme , matematisk konstant , irrationelt og transcendentalt tal. Omtrent lig med 2,71828. Nummeret kaldes undertiden Euler - nummeret eller Napier- nummeret . Betegnes med små latinske bogstaver " e ". $e$

Tallet spiller en vigtig rolle i differential- og integralregning såvel som i mange andre grene af matematikken . $e$

Da den eksponentielle funktion integrerer og differentierer "ind i sig selv", accepteres logaritmerne som naturlige i basen . $e^{x}$ $e$

Måder at bestemme

Nummeret kan defineres på flere måder. $e$

Gennem grænsen: $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ (anden bemærkelsesværdig grænse ). ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!)))))$ (dette følger af De Moivre-Stirling-formlen ).
Som summen af serien : $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}$ eller . ${\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!)}}$
Som det eneste nummer , som $-en$ $\int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.$
Som det eneste positive tal , som er sandt $-en$ ${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.$

Egenskaber

Den afledede af eksponenten er lig med eksponenten selv: Denne egenskab spiller en vigtig rolle ved løsning af differentialligninger. Så for eksempel er den generelle løsning af en differentialligning funktionerne , hvor er en vilkårlig konstant. ${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.$
${\frac {df(x)}{dx}}=f(x)$ ${\displaystyle f(x)=ce^{x))$ $c$
Tallet er irrationelt . Beviset for irrationalitet er elementært. $e$

Bevis for irrationalitet
Lad os antage, at det er rationelt. Så , hvor er et heltal og er et naturligt tal. $e$ $e=p/q$ $s$ $q$ følgelig $p=eq$ Multiplicerer begge sider af ligningen med , får vi $(q-1)!$ $p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}$ Flytning til venstre side: $\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$ $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$ Alle led på højre side er heltal, så summen på venstre side er også heltal. Men denne sum er også positiv, så den er ikke mindre end 1. På den anden side, $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1} ^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}$ Sammenfattende den geometriske progression på højre side får vi: $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}$ Siden , $q\geq 1$ $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1$ Vi får en modsigelse.

Bevis for irrationalitet

Lad os antage, at det er rationelt. Så , hvor er et heltal og er et naturligt tal.

e

e=p/q

s

q

følgelig

p=eq

Multiplicerer begge sider af ligningen med , får vi $(q-1)!$

p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}

Flytning til venstre side: $\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}

Alle led på højre side er heltal, så summen på venstre side er også heltal. Men denne sum er også positiv, så den er ikke mindre end 1.

På den anden side,

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1} ^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}

Sammenfattende den geometriske progression på højre side får vi:

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}

Siden , $q\geq 1$

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1

Vi får en modsigelse.

Tallet er transcendent . Dette blev første gang bevist i 1873 af Charles Hermite [2] . Transcendensen af et tal følger af Lindemanns sætning . $e$ $e$
Det antages, at det er et normalt tal , det vil sige, at hyppigheden af forekomst af forskellige cifre i dens post er den samme. I øjeblikket (2017) er denne hypotese ikke blevet bevist. $e$
Et tal er et beregneligt (og derfor også et aritmetisk ) tal. $e$
$e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$ , se især Eulers formel
- $e^{i\pi }+1=0.$
- $e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)$
Formlen, der forbinder tallene og , den såkaldte. Poisson- integral eller Gauss-integral $e$ $\pi$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$
For ethvert komplekst tal z er følgende ligheder sande: $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left( 1 +{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$
Tallet udvides til en uendelig fortsat brøk som følger (et simpelt bevis for denne udvidelse, relateret til Padé-approksimanter, er givet i [3] ): $e$ $e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]$ , det er $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{ \cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1} {8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots ))))))))))) } }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ eller i tilsvarende notation: $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots } }}}}}}}}}$
For hurtigt at beregne et stort antal tegn er det mere praktisk at bruge følgende udvidelse: ${\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1} {\ldots )))))))))$
$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!)}}}.$
Repræsentation af catalansk : $e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\ sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15))}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18 \cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\c}}$
Repræsentation gennem arbejdet : $e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2 ))}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2)))){\left(2k+1\right)^{2k))}$
Repræsentation via klokkenumre : $e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!)}}$
Målet for et tals irrationalitet er (som er den mindst mulige værdi for irrationelle tal) [4] . $e$ $2$

Historie

Dette nummer plejede at blive kaldt Neperov til ære for den skotske videnskabsmand Napier , forfatter til værket "Description of the amazing table of logarithms" ( 1614 ). Dette navn er dog ikke helt korrekt, da dets logaritme var lig med . $x$ $10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7))}\right)$

For første gang er konstanten stiltiende til stede i appendikset til oversættelsen til engelsk (fra latin) af det førnævnte værk af Napier, udgivet i 1618 . Bag kulisserne, fordi den kun indeholder en tabel over naturlige logaritmer bestemt ud fra kinematiske overvejelser, er konstanten i sig selv ikke til stede.

Det antages, at den engelske matematiker Oughtred var forfatteren til tabellen .

Den samme konstant blev først beregnet af den schweiziske matematiker Jacob Bernoulli i løbet af løsningen af problemet med grænseværdien af renteindtægter . Han fandt, at hvis det oprindelige beløb og påløb om året én gang i slutningen af året, så vil det endelige beløb være . Men hvis den samme rente beregnes to gange om året, så ganges den med to gange, får . Beregning af renter kvartalsvise resultater i , og så videre. Bernoulli viste, at hvis frekvensen af renteberegningen øges uendeligt, så har renteindtægten i tilfælde af renters rente en grænse : , og denne grænse er lig med tallet . $\$1$ $100\%$ $\$2$ $\$1$ $1{,}5$ $\$1{,}00\cdot 1{,}5^{2}=\$2{,}25$ $\$1{,}00\cdot 1{,}25^{4}=\$2{,}44140625$ $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ $e~(\approx 2{,}71828)$

$\$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{12}}\right)^{12}=\$2{,}613035...$

$\$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=\$2{,}714567...$

Konstanten betyder således det maksimalt mulige årlige overskud med årlig og maksimal rentekapitaliseringsfrekvens [ 5] . $e$ $100\%$

Den første kendte brug af denne konstant, hvor den blev betegnet med bogstavet , forekommer i Leibniz ' breve til Huygens , 1690-1691 . $b$

Brevet begyndte at blive brugt af Euler i 1727 , for første gang forekommer det i et brev fra Euler til den tyske matematiker Goldbach dateret 25. november 1731 [6] [7] , og den første udgivelse med dette brev var hans værk " Mechanics, eller Science of Motion, udtalt analytisk", 1736 . Derfor omtales det almindeligvis som Euler-nummeret . Selvom nogle senere forskere brugte bogstavet , er bogstavet blevet brugt hyppigere og er standardbetegnelsen i dag. $e$ $e$ $c$ $e$

I programmeringssprog svarer symbolet i eksponentiel notation til tallet 10, ikke Euler-tallet. Dette skyldes historien om oprettelsen og brugen af FORTRAN-sproget til matematiske beregninger [8] . $e$

Mnemonic

Tallet kan huskes som 2, 7 og gentage 18, 28, 18, 28. Mnemonisk regel: to og syv, derefter to gange Leo Tolstojs fødselsår (1828), derefter vinklerne i en ligebenet retvinklet trekant (45 ) , 90 og 45 grader), efter de første tre primtal (2, 3 og 5) og antallet af grader i en komplet omdrejning (360).

En poetisk mnemonik, der illustrerer en del af denne regel: "Der er en enkel måde for en udstiller at huske: to og syv tiendedele, to gange Leo Tolstoy"

Et mnemonisk digt, der giver dig mulighed for at huske de første 12 decimaler (ordlængder koder for cifrene i tallet e): Vi flagrede og lyste, / Men sad fast i passet: / Vores stjal blev ikke genkendt / Autorally .[ betydningen af det faktum? ]

Approksimationer

$e\approx (1+{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}$ , med en nøjagtighed på 0,000001;

I overensstemmelse med teorien om fortsatte brøker er de bedste rationelle tilnærmelser af et tal konvergenterne af udvidelsen af tallet til en fortsat brøk. $e$ $e$

Tallet 19/7 overstiger antallet med mindre end 0,004;

e

Tallet 87/32 overstiger antallet med mindre end 0,0005;

e

Tallet 193/71 overstiger antallet med mindre end 0,00003;

e

Tallet 1264/465 overgår tallet med mindre end 0,000003;

e

Tallet 2721/1001 overstiger antallet med mindre end 0,0000002;

e

Overfladeareal af en firkantet pyramide , hvor sidefladerne er regelmæssige trekanter med en kantlængde på 1 (nøjagtighed 0,014).[ betydningen af det faktum? ]

Åbne numre

Det vides ikke, om tallet er et element i punkteringen . $e$
Målingen af irrationalitet er ikke kendt for nogen af følgende tal: Det vides ikke engang for nogen af dem, om det er et rationelt tal, et algebraisk irrationelt tal eller et transcendentalt tal. Derfor vides det ikke, om tallene og er algebraisk uafhængige [9] [10] [11] [12] [13] [14] . $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e)),\pi ^{e},e^{\pi ^{2)),e^{e },2^{e}.$ $\pi$ $e$
Det vides ikke, om det første Skewes-tal er et heltal. $e^{e^{e^{79}}}$

Se også

Noter

↑ 2 millioner decimaler . Hentet 17. april 2009. Arkiveret fra originalen 19. januar 2011. (ubestemt)
↑ Encyclopedia of Mathematics . - Moskva: Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5. - S. 426.
↑ William Adkins. Et kort bevis på den simple fortsatte brøkudvidelse af f.eks . arXiv . arXiv (25. februar 2006). Hentet 1. marts 2017. Arkiveret fra originalen 2. marts 2017. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Mål for irrationalitet hos Wolfram MathWorld .
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Tallet e . Mac Tutor matematik historie. Hentet 23. oktober 2014. Arkiveret fra originalen 11. februar 2012. (ubestemt)
↑ Bogstav XV. Euler à Goldbach, dateret 25. november 1731 i: P. H. Fuss, red., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle , vol. 1, (St. Petersborg, Rusland: 1843), s. 56-60; se side 58. Arkiveret 31. januar 2017 på Wayback Machine
↑ Remmert, Reinhold Teori om komplekse funktioner (neopr.) . - Springer-Verlag , 1991. - S. 136 . — ISBN 0-387-97195-5 .
↑ B. Eckel, Java Philosophy = Thinking in Java. - 4. udg. - Sankt Petersborg. : Peter, 2009. - S. 84. - (Programmer's Library). — ISBN 978-5-388-00003-3 .
↑ Weisstein, Eric W. Irrationelt tal (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Weisstein, Eric W. Pi på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Sondow, Jonathan og Weisstein, Eric W. e (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Nogle uløste problemer i talteorien . Hentet 8. december 2011. Arkiveret fra originalen 19. juli 2010. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Transcendental nummer (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ En introduktion til irrationalitet og transcendensmetoder . Hentet 8. december 2011. Arkiveret fra originalen 17. maj 2013. (ubestemt)

Links

Nummer e - artiklen fra encyklopædien "Rundt om i verden"
Gorobets B.S. Verdenskonstanter i de grundlæggende love for fysik og fysiologi // Science and Life . - 2004. - Nr. 2 . (Russisk)(en artikel med eksempler på den fysiske betydning af konstanterneog) $\pi$ $e$
JJ O'Connor, E.F. Robertson. Historien om nummeret e . MacTutor History of Mathematics-arkiv . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skotland (september 2001). (ubestemt) (Engelsk)
e for 2,71828… (engelsk) (Jacksons historie og regel)
" Eksponentielle funktioner og tal e : almindeligt og nemt " Arkiveret 25. september 2015 på Wayback-maskinen En intuitiv guide til eksponentielle funktioner og tal e | Bedre forklaret _
For et simpelt bevis på overskridelsen af tallene e (på skoleniveau) og π , se s. 520—535 Veber G., Velshtein I. Encyclopedia of elementary mathematics. Bind 1. Elementær algebra og analyse. 1906

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer jorden rundt
I bibliografiske kataloger	GND : 4150966-3 J9U : 987007546755505171 LCCN : sh93008168 NKC : ph114413

Tal med egennavne

Matematiske konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
sandsynligvis transcendental

Tusind grader

Gamle russiske tal

Andre tipotenser

12 magter

Andet hele

Andre numre

imaginær enhed

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk

Afledninger af det latinske bogstav " E, e "
Breve	Ja ē̃ è̃ Ee Ëé̈ É̤é̤ ē̃ ẽ Kk Le lu Ë̀ë̀ Ë̂ë̂ Ë̌ë̌ Ë̃ë̃ Ēē ē̃ Ē̤ē̤ Ĕĕ ĕ́ ĕ̀ ĕ̇ Ẹ̆ẹ̆ Ĕ̱ĕ̱ Ėė Ė̄ė̄ Ėʹėʹ Ė̃ė̃ Ęę Ęię Ę̀ę̀ Ę̂ę̂ Ę̌ę̌ Ę̄ę̄ Ę̄́ę̄ Ę̄̀ę̄̀ Ę̄̂ę̄̂ Ę̄̌ę̄̌ Ę̃ę̃ E᷎e᷎ Ẹ̃ẹ̃ Ẽ̱ẽ̱ Ę̈ę̈ Ę̈̀ę̈̀ Ę̈̂ę̈̂ Ę̈̌ę̈̌ Ěě Ȇȇ Ȩȩ Ḝḝ Ȩ́ȩ́ Ȩ̀ȩ̀ Ȩ̂ȩ̂ Ȩ̌ȩ̌ Ȩ̛ȩ̛ Ɇɇ Ḕḕ Ḗḗ Ē̂ē̂ Ē̌ē̌ Ḙḙ Ḛḛ Ẹẹ Ẹẹ́ Ẹ̀ẹ̀ Ẹ̄ẹ̄ Ẻẻ Ẽẽ Ẽ́ẽ́ Ẽ̀ẽ̀ Ẽ̂ẽ̂ Ẽ̌ẽ̌ Ẽ̍ẽ̍ Ệệ Ếế Ềề Ểể Ê̆ê̆ Ễễ E̛e̛ E̊e̊ e̋e̋ Ȅȅ E̍e̍ E̱e̱ E̱é̱ È̱è̱ Ê̱ḵ Ě̱ě̱ Ē̱ē̱ Ḗ̱ḗ̱ Ḕ̱ḕ̱ Ē̱̂ē̱̂ Ë̱ë̱ Ĕ̤ĕ̤ E̲e̲ E̤e̤ Ê̤ê̤ E̤̍e̤̍ È̤è̤ Ê̌ê̌ Ê̄ê̄ e᷑ e᷑ e᷑ E᷆e᷆ E᷇e᷇ eͥ Əə / Ǝǝ Ə̃ə̃ / Ǝ̃ǝ̃ Əə́ / Ǝ́ǝ́ Ǝ̋ǝ̋ Ə̀ə̀ / Ǝ̀ǝ̀ Ǝ̏ǝ̏ Ə̂ə̂ / Ǝ̂ǝ̂ Ə̄ə̄ / Ǝ̄ǝ̄ Ə̌ə̌ / Ǝ̌ǝ̌ Ǝ̍ǝ̍ Ə̧ə̧ Ə̧́ə̧́ Ə̧̀ə̧̀ Ə̣ə̣ Ə̣́ə̣́ Ə̣̀ə̣̀ ɘ ɘ̝ ᶒ ᶕ ᴇ ⱻ ⱸ ꬳ ꬴ ɚ Ææ ᴁ ᴂ Ǽǽ Æ̂æ̂ Æ̀æ̀ Ǣǣ Æ̃æ̃ Æ̈æ̈ Æ̨æ̨ æ̞ Œœ ɶ Œœ́ œ́̃ Œ̀œ̀ œ̀̃ Œ̂œ̂ Œ̌œ̌ œ̆ œ̆́ œ̆̀ Œ̄œ̄ œ̄ œ̄̀ Œ̈œ̈ œ̃ œ᷑ œ᷑ œ̀᷑ ᵫ ᴔ ꭀ ꭁ ꭂ ꬱ ꭢ ꬲ ꭡ
Bogstaver ce fra oven	Aͤaͤ en en en Oͤoͤ Uͤuͤ
Symboler	& ℮ ∃/∄ 𝔼 ℇ ℯ/ⅇ ℰ ₠ € 🜀 Ⓔⓔ ⒠