Normeret rum

Et normeret rum er et vektorrum med en norm angivet på det ; et af hovedobjekterne for undersøgelse af funktionel analyse .

Mere præcist er et normeret rum et par af et vektorrum over feltet af reelle eller komplekse tal og afbildninger , således at følgende egenskaber gælder for enhver og en skalar [1] : $(X,\|\cdot \|)$ $x$ $\|\cdot \|\colon X\to \mathbb {R}$ $x,y\i X$ $\lambda$

$\|x\|\geqslant 0,\;\|x\|=0\Højrepil x=0$ (positiv bestemthed)
$\|\lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ ( homogenitet )
$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$ ( trekant ulighed )

Normen er en naturlig generalisering af begrebet længden af en vektor i det euklidiske rum , således er normerede rum vektorrum udstyret med evnen til at bestemme længden af en vektor.

Et semi-normeret rum er et par , hvor er et vektorrum og er en semi- norm i . $\left(X,p\right)$ $x$ $s$ $x$

Metrisk

I et normeret rum definerer (inducerer) en funktion en metrik . Metrikken defineret på denne måde har udover de sædvanlige egenskaber for en metrik også følgende egenskaber: $d(x,y)=\|xy\|$

$d(x,y)=d(x+z,y+z)$ (forskydningsinvarians),
$d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |\cdot d(x,y)$ (positiv ensartethed).

Ikke alle metriske vektorrum kan have en norm.

Hvis rummet er komplet med den inducerede metriske , så er et normeret rum per definition et Banach-rum . Ikke ethvert normeret rum er Banach, men hvert normeret rum har en afslutning til Banach. $x$

Topologisk struktur

For ethvert semi-normeret vektorrum er det muligt at angive afstanden mellem to vektorer og som . Et sådant semi-normeret rum med afstand defineret på denne måde kaldes et semi-normeret metrisk rum , hvor vi kan definere sådanne begreber som kontinuitet og konvergens . Mere abstrakt er ethvert semi-normeret vektorrum et topologisk vektorrum og bærer således den topologiske struktur genereret af semi-normen. $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$ $\left\Vert {\mathbf {u}}-{\mathbf {v}}\right\Vert$

Af særlig interesse er de komplette normerede rum, kaldet Banach-rum . Ethvert normeret vektorrum findes som et tæt underrum inde i et Banach-rum, og dette Banach-rum er unikt bestemt af rummet og kaldes fuldførelsen af rummet . $V$ $V$ $V$

Alle normer i et endeligt-dimensionelt vektorrum er topologisk ækvivalente, da de genererer den samme topologi. Og da ethvert euklidisk rum er komplet, kan vi konkludere, at alle endelig-dimensionelle vektorrum er Banach-rum. Et normeret vektorrum er endelig-dimensionelt, hvis og kun hvis enhedskuglen er kompakt , hvilket kan være, hvis og kun hvis den er lokalt kompakt . $V$ $B=\{x\kolon \venstre\Vert x\right\Vert \leqslant 1\}$ $V$

Topologien af en semi-normeret vektor har flere interessante egenskaber. Tager man et kvartersystem rundt , er det muligt at konstruere alle andre kvartersystemer som: ${\mathcal {N}}\left(0\right)$ $0$

{\mathcal {N}}\left(x\right)=x+{\mathcal {N}}\left(0\right):=\left\{x+N\mid N\in {\mathcal {N} }\left(0\right)\right\}

ved hjælp af

x+N:=\venstre\{x+n{\bar {n}}\in N\right\}

Desuden er der et nabogrundlag for , bestående af absorberende og konvekse sæt . Da denne egenskab er meget nyttig i funktionel analyse , studeres generaliseringer af normerede vektorrum med denne egenskab som lokalt konvekse rum . $0$

Lineære afbildninger og dobbeltrum

De vigtigste afbildninger mellem to normerede vektorrum er kontinuerlige lineære afbildninger . De normerede vektorrum med sådanne afbildninger danner kategorien .

Normen er en kontinuerlig funktion i sit vektorrum. Alle lineære afbildninger mellem endelig-dimensionelle vektorrum er også kontinuerte.

En isometri mellem to normerede vektorrum er en lineær afbildning , der bevarer normen (det vil sige for alle vektorer ). Isometrier er altid kontinuerlige og injicerende . En surjektiv isometri mellem normerede vektorrum og kaldes en isometrisk isomorfi . Isometrisk isomorfe normerede vektorrum kan betragtes som ens til næsten ethvert formål. $f$ $\left\Vert f\left({\mathbf {v}}\right)\right\Vert =\left\Vert {\mathbf {v}}\right\Vert$ $\mathbf{v}$ $V$ $W$

Når vi taler om normerede vektorrum, skal vi nævne de dobbelte rum . Det dobbelte rum i et normeret vektorrum er rummet for alle kontinuerlige lineære afbildninger fra til hovedfeltet (feltet med komplekse eller reelle tal), og sådanne lineære afbildninger kaldes funktionaler . Normen for den funktionelle er defineret som: $V'$ $V$ $V$ $\varphi$

\left\Vert \varphi \right\Vert =\sup \left\vert \varphi \left(\mathbf {v} \right)\right\vert \qquad \forall \mathbf {v} :\left\ Vert \mathbf {v} \right\Vert =1

Indførelsen af en sådan norm bliver til et normeret vektorrum. Et vigtigt resultat på kontinuerlige lineære funktionaler i normerede vektorrum er Hahn-Banach-sætningen . $V'$

Normerede rum som en kvotient af rummet af semi-normerede rum

Definitionerne af mange normerede rum (såsom Banach-rum ) inkluderer en seminorm defineret på et vektorrum, og derefter defineres et normeret rum som et kvotientrum af et underrum af elementer, hvis seminorm er nul. For eksempel, i tilfælde af mellemrum $L_{p}$ , en funktion defineret som:

\left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int \left\vert f\left(x\right)\right\vert ^{p}\;dx\right)^{ \frac {1}{p}}

er en seminorm i vektorrummet for alle funktioner, hvis Lebesgue-integral (til højre) er defineret og endeligt.

Imidlertid er seminormen nul for alle funktioner, hvis støtte har nul Lebesgue-mål . Disse funktioner danner et underrum, der er "streget over", hvilket gør dem ækvivalente med nul-funktionen.

Finite produkter af rum

Givet semi-normerede rum med semi-normer , kan vi definere produktet af rummene som $n$ $X_{i}$ $p_{i}$

x{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}

med vektoraddition defineret som

\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right){\stackrel {{\mathrm {def}}}{ =}}\venstre(x_{1}+y_{1},\ldots,x_{n}+y_{n}\right),

og skalar multiplikation defineret som

\alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right){\stackrel ({\mathrm {def))}{=}}\left(\alpha x_{1},\ldots ,\ alpha x_{n}\right).

Lad os definere en ny funktion $s$

p:X\mapsto {\mathbb {R}}

hvordan

p:\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\to \sum _{{i=1}}^{{n}}p_{i}\left(x_{i}\ ret),

som er en seminorm i . En funktion vil være en norm, hvis og kun hvis alle er normer. $x$ $s$ $p_{i}$

Se også

Lokalt konvekse rum er generaliseringer af semi-normerede vektorrum
Strengt normeret plads
Ensartet konveks rum

Noter

↑ Kerin S. G. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1972.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet