Subring

En underring af en ring er et par , hvor er en ring og er en monomorfi ( indlejring ) af ringe. En sådan definition er i overensstemmelse med den generelle forestilling om et subobjekt i kategoriteori . $K$ $(R,i)$ $R$ $i:R\hookrightarrow K$

I den klassiske definition betragtes en underring af en ring som en undergruppe , der er lukket under operationerne og fra hovedringen. Denne definition svarer til den ovenfor, men den moderne definition understreger den interne struktur af underringe og forbindelsen mellem forskellige ringe. Det er også let at generalisere til tilfældet med vilkårlige matematiske objekter (algebraiske, geometriske osv.). Forskellen mellem definitionerne er analog med forskellen mellem det mængdeteoretiske og det kategoriteoretiske syn på matematik. $(K,+,*)$ $R\subset K$ $+$ $*$

Især giver forskellige definitioner af en ring to grundlæggende meningsfulde begreber om en underring. I kategorien (alle) ringe kan en underring, som i den klassiske definition, betragtes som en vilkårlig delmængde af en ring, der er lukket under addition og multiplikation. En mere interessant situation er i kategorien enhedsringe : morfismerne (homomorfismer) i denne kategori skal kortlægge ringens identitet til ringens identitet (på samme måde som homomorfi af semigrupper med enhed ), så ringens subring skal også indeholde identiteten: . ${\mathcal {R}}ing$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $f:R\to K$ $R$ $K$ $R$ $K$ $1_{K}\in R$

Kategorien er meget bedre organiseret end . For eksempel er kernen i enhver homomorfi også et objekt af denne kategori. På grund af dette, at tale om en subring betyder normalt en subring i , medmindre andet er angivet. ${\mathcal {R}}ing$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ ${\mathcal {R}}ing$

Eksempler

Ethvert ideal (venstre, højre, tosidet) er lukket under addition og multiplikation, derfor er det en subring i . ${\mathcal {R}}ing$
Et ideal er kun en underring, hvis den indeholder , så den skal falde sammen med hele ringen. Derfor er ordentlige idealer ikke underringe. ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $en$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$
Underringene i er alle mulige hovedidealer . B har ikke sine egne underringe. ${\mathcal {R}}ing$ $\mathbb {Z}$ $(n)=n\mathbb {Z}$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $\mathbb {Z}$
Heltalsringen er en underring af feltet af reelle tal og en underring af ringen af polynomier . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Z} [X]$

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 .
M. Atiyah, I. MacDonald. Introduktion til kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - 160 s.

Se også

Undergruppe