Sgn

sgn (signum, fra latin signum - tegn) er en stykkevis konstant funktion af et reelt argument. Udpeget. Defineret som følger: $\operatørnavn{sgn} x$

\operatorname{sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}

Funktionen er ikke elementær .

Ofte brugt repræsentation

\operatornavn {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|

I dette tilfælde er den afledede af modulet på nul, som strengt taget ikke er defineret, yderligere defineret af det aritmetiske middelværdi af de tilsvarende afledte til venstre og højre .

Funktionen har applikationer inden for signalbehandlingsteori , matematisk statistik og andre områder af matematik, hvor kompakt notation er påkrævet for at indikere fortegnet på et tal.

Historie og betegnelser

Funktionen blev introduceret af Leopold Kronecker i 1878, først betegnede han den anderledes: . I 1884 havde Kronecker brug for i én artikel, sammen med , funktionen " heltalsdel ", som også var angivet med firkantede parenteser. For at undgå forvirring introducerede Kronecker notationen , som (minus prikken foran argumentet) var fast i videnskaben. Nogle gange omtales en funktion som . $\operatørnavn{sgn} x$ $[x]$ $\operatørnavn{sgn}$ $sgn.x$ $\operatørnavn {tegn} x$

Funktionsegenskaber

Definitionsdomæne :. _ $\mathbb {R}$
Værdiområde :. _ $\{-1;0;+1\}$
Glat på alle punkter undtagen nul.
Funktionen er mærkelig .
Punktet er et diskontinuitetspunkt af den første slags, da grænserne til højre og venstre for nul er ens og hhv. $x=0$ $+1$ $-en$
$|x|=\operatørnavn{sgn} x\cdot x$ og for . Med andre ord, $x=\operatørnavn{sgn} x\cdot |x|$ $\forall x\in {\mathbb {R}}$

\operatornavn {sgn} x={x \over |x|}={|x|  \over x}

kl .

x \ne 0

${\frac {d}{dx}}\operatørnavn{sgn} x=2\cdot \delta (x)$ , hvor er Dirac delta-funktionen . $\delta(x)$
$\operatørnavn{sgn} x\cdot \operatornavn{sgn} y=\operatørnavn{sgn}(x\cdot y)$ .
$\operatorname{sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{{0}}^({\infty }}{\frac {\sin tx}{t}}dt$ .

Funktionsgeneraliseringer for et komplekst argument

Ydeevne

\operatorname {sgn} z={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}

giver en af de mulige generaliseringer af signumfunktionen til mængden af komplekse tal . I dette tilfælde , hvor er argumentet for det komplekse tal . Når resultatet af funktionen er punktet i enhedscirklen nærmest tallet . Betydningen af denne generalisering er at bruge radiusvektoren for længdeenhed til at vise retningen på det komplekse plan svarende til tallet . Den samme retning i polære koordinater definerer vinklen . Den ubestemte retning, der svarer til tallet , udtrykkes ved funktionens nulværdi. For eksempel er det sådan, funktionen signum defineres i standardbiblioteket af komplekse tal i Haskell-sproget [1] . ${\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$ $\varphi =\operatørnavn {Arg} z$ $z$ $z\neq 0$ $\operatørnavn {sgn} z$ $z$ $z$ $\varphi$ $z=0$

En anden version af funktionen generalisering, betegnet som , er defineret som følger: $\operatørnavn {csgn}$

\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatørnavn {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}

Denne generalisering bruges for eksempel i applikationerne Mathcad og Maple [2] .

Se også

Heaviside funktion

Noter

↑ Simon Peyton Jones (redaktør) et al. 13. Komplekse tal // Haskell 98 Sprog og biblioteker: Den reviderede rapport. - 2002.
↑ Maple V dokumentation. 21. maj 1998

Litteratur

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Håndbog i matematik. — M .: Nauka, 1964. — 608 s.
Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F. Grundlæggende matematiske formler. Vejviser. - Minsk: Higher School, 1988. - 269 s.