Harmonisk funktion

En harmonisk funktion er en reel funktion , defineret og to gange kontinuerligt differentierbar på et euklidisk rum (eller dets åbne delmængde), der opfylder Laplace-ligningen : $U$ $D$

\DeltaU=0,\

hvor er Laplace-operatoren , dvs. summen af de anden afledede med hensyn til alle rektangulære kartesiske koordinater x i ( n = dim D er rumdimensionen ). $\Delta =\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$

For eksempel er den harmoniske funktion det elektrostatiske potentiale på punkter, hvor der ikke er nogen ladning .

Egenskaber

Det maksimale princip

Funktionen U, som er harmonisk i området , når kun sit maksimum og minimum ved grænsen . En harmonisk funktion kan således ikke have et lokalt ekstremum i et indre punkt , undtagen for det trivielle tilfælde af en konstant i funktionen. Funktionen kan dog være udefineret på grænsen, så det er mere korrekt at sige $D$ $\delvis D$ $D$ $\forall m\in D\inf _{{Q\in D}}U(Q)<U(m)<\sup _{{Q\in D}}U(Q)$

Liouvilles sætning

En harmonisk funktion defineret på og afgrænset over eller under er konstant . $\mathbb {R} ^{n}$

Den gennemsnitlige egenskab

Hvis en funktion er harmonisk i en eller anden bold centreret i punktet , så er dens værdi i punktet lig med dens gennemsnitlige værdi langs grænsen af denne bold eller over bolden: $u$ $B(x_{0})$ $x_{0}$ $x_{0}$

u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\partial B)))\int \limits _({\partial B))udS={\frac {1}{\mu (B) }}\int \limits _{{B}}udV

hvor er kuglens rumfang og er arealet af dens grænse. $\mu (B)$ $B(x_{0})$ $\mu (\delvis B)$

Omvendt er enhver kontinuert funktion, der har middelegenskaben for alle bolde, der ligger i et bestemt område, harmonisk i dette område.

Differentierbarhed

En funktion, der er harmonisk i et domæne, er uendeligt differentierbar i den.

Harnacks ulighed

Hvis funktionen , som er harmonisk i en k-dimensionel kugle med radius centreret på et tidspunkt , er ikke-negativ i denne kugle, så gælder følgende uligheder for dens værdier på punkter inde i kuglen, der overvejes: , hvor [1 ] . $U(M)=U(x_{1},...x_{k})$ $Q_{r}$ $R$ $M_{0}$ $M$ ${{R^{{k-2}}}{{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}}U(M_{0})}\leq {U(M )}\leq {R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1}}}}U(M_{0})}$ $r=\rho (M_{0},M)<R$

Harnacks sætning

Lade være positive harmoniske funktioner i nogle domæne . Hvis serien konvergerer i det mindste på et punkt i regionen , så konvergerer den ensartet indeni . $v_{n}(z)$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$ $D$

Harmoniske funktioner på det komplekse plan

På det komplekse plan er harmoniske funktioner tæt forbundet med holomorfe funktioner . Især gælder følgende påstand: for et vilkårligt domæne i , hvis dette er en holomorf funktion på , så er det en harmonisk funktion over . $h:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ $D$ $\mathbb {C}$ $f$ $D$ $h=\operatørnavn {Re} (f)$ $D$

Den omvendte påstand gælder også. Hvis er en harmonisk funktion over et simpelt forbundet domæne , så for en unik, op til en konstant, holomorf over funktionen . $h$ $D$ $h=\operatørnavn {Re} (f)$ $D$ $f$

Se også

Noter

↑ A.F. Timan, V.N. Trofimov Introduktion til teorien om harmoniske funktioner. Moskva: Nauka, 1968

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. — M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1991. - 448 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel. — M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1973. - 749 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel. — M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1984. - 432 s.
Sidorov Yu. V. , Fedoryuk M. V. , Shabunin M. I. Forelæsninger om teorien om funktioner af en kompleks variabel. — M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1989. - 480 s.
Titchmarsh E. Funktionsteori. — M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1980. - 463 s.
Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funktioner af en kompleks variabel og nogle af deres applikationer. — M.: Nauka, 1964. — 388 s.
Hayman W. , Kennedy P. Subharmoniske funktioner. — M.: Mir, 1980. — 304 s.
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. I 2 bind. — M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1976. - 720 s.