Fraktionel lineær funktion

En lineær-brøkfunktion er en numerisk funktion , der kan repræsenteres som en brøk, hvis tæller og nævner er lineære funktioner .

Den lineære fraktionelle funktion, som generelt kortlægger et multidimensionelt numerisk rum til et endimensionelt numerisk rum, er et vigtigt specialtilfælde:

for både i reelt og komplekst rum - en rationel funktion , som i det generelle tilfælde kortlægger et endimensionelt numerisk rum ind i sig selv ved hjælp af polynomier af en variabel af vilkårlig grad ; $n=1$
for i et komplekst rum, en fraktionel-lineær transformation , som i det generelle tilfælde kortlægger et flerdimensionelt komplekst rum ind i sig selv; $n=1$
når i komplekse og når i reelle rum, invertering med hensyn til cirkler , - Möbius transformationer . $n=1$ $n=2$

Formel definition

En lineær brøkfunktion er en numerisk funktion af formen

\mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1 }u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},

hvor er komplekse ( ) eller reelle ( ) tal, er henholdsvis komplekse eller reelle variabler, er henholdsvis komplekse eller reelle koefficienter, $\mathbb {U}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $u_1, u_2, \prikker, u_n$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Generalisering til kvaternioner er mulig [2] .

Degenererede tilfælde [1] :

hvis

|c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,

så bliver den lineære-brøkfunktion en hel lineær funktion ;

hvis rangen af matrixen

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ ende{array}}\right)

er lig med en, så degenererer den lineære-fraktionelle funktion til en konstant .

For en korrekt (ikke-degenereret) lineær-fraktionel funktion [1] :

$|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;$
lig med to matrix rang

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ ende{array}}\right).

Reel lineær brøkfunktion

En reel lineær brøkfunktion er en numerisk funktion af formen

\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1 }x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},

hvor er reelle tal, er reelle variable, er reelle koefficienter, $\mathbb {R}$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Funktion af en variabel

I det simpleste tilfælde og ægte $n=1$

x_{1}=x,

a_{1}=a,

b,

c_{1}=c,

d

graf af en lineær-brøkfunktion - ligebenet hyperbel med asymptoter

x=-d/c

y=a/c,

parallelt med koordinatakserne: [1] .

Asymptoter af en hyperbel

Lad en lineær-brøkfunktion af en variabel

y={\frac {ax+b}{cx+d))

er irreducerbar, det vil sige , og kan ikke reduceres til en hel lineær funktion, dvs. Vi vælger den heltallige del af brøken og udtager koefficienten ved [3] : $ad-bc\neq 0$ $c\neq 0$ $x$

y={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac { {\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c ^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}=

={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))}.

Nu er det klart, at funktionsgrafen er opnået fra grafen ved følgende elementære transformationer: ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ ${\frac {1}{x))$

strækningstider langs aksen , og i tilfælde af refleksion om aksen ; $\left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|$ $Åh$ $ad-bc>0$ $Okse$
bevæger sig parallelt med aksen ved ; $Okse$ $-{\frac {d}{c))$
bevæger sig parallelt med aksen med . $Åh$ ${\frac {a}{c}}$

Således er en lineær-brøkfunktion af en variabel en almindelig hyperbel af anden orden, linjerne og er hyperbelens asymptoter , indbyrdes vinkelret og parallelt med koordinatakserne, og skæringspunktet for asymptoterne , som ikke hører hjemme til kurven, er dens centrum [3] . ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ $x=-{\frac {d}{c))$ $y={\frac {a}{c}}$ $\left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)$

Det er også indlysende, at den lineære fraktionelle funktion af en variabel [3] : ${\frac {ax+b}{cx+d}}$

"mister sin mening", det vil sige, det har ingen betydning, ophører med at "eksistere" på det punkt ; $x=-{\frac {d}{c))$
på intervallerne og funktionen stiger overalt som og aftager overalt som ; $\left(-\infty ,-{\frac {d}{c))\right)$ $\left(-{\frac {d}{c)),+\infty \right)$ $ad-bc>0$ $ad-bc<0$
med en ubegrænset stigning i funktionens værdi nærmer de sig uendeligt , hvilket også kan ses af transformationen $|x|$ ${\frac {a}{c}}$

{\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.

Afledte

\left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))))\right) ' ={\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c)))^{2}}}.

Ubestemt integral :

\int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})))\right )dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right| +C.

Den kanoniske ligning for en hyperbel

Først giver vi funktionen

y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))}}

koordinere transformationer til formen

y'={\frac {m}{x'}}.

For at gøre dette foretager vi følgende udskiftninger:

x'=x+{\frac {d}{c)),

y'=y-{\frac {a}{c)),

m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}},

vi opnår den nødvendige form af funktionen [4] .

Lad os nu rotere koordinatakserne med en vinkel ved at ændre koordinaterne $45^{\circ },$

x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ})={\frac {x''-y''}{\sqrt { 2}}},

y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ})={\frac {x''+y''}{\sqrt { 2}}},

vi får nye koordinater [4] :

x'y'=m,

{\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,

{\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.

Den sidste ligning er den kanoniske ligning for en ligesidet hyperbel med halvakser [4] $a=b={\sqrt {2|m|}}.$

Funktion af to variable

I tilfælde af og reel, grafen for en lineær-brøkfunktion $n=2$ $x_{1},$ $x_{2},$ $a_{1},$ $a_{2},$ $b,$ $c_{1},$ $c_{2},$ $d$

y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d} }

er en hyperbolsk paraboloid [1] .

Kompleks lineær-brøkfunktion

En kompleks lineær-brøkfunktion er en numerisk funktion af formen

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},

hvor er komplekse tal, er komplekse variable, er komplekse koefficienter, $\mathbb {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n))$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Til kompleks lineær brøkfunktion $n=1$

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d))

—

analytisk funktion af én kompleks variabel overalt i det udvidede komplekse plan , undtagen det punkt, hvor den komplekse lineære-brøkfunktion har en simpel pol [1] . ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $z=-d/c$

Til kompleks lineær brøkfunktion $n\geqslant 1$

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},

—

en meromorf funktion i rummet af komplekse variable , der har et polært sæt ${\mathbb C}^{n}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n))$

\{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d= 0\}

[1] .

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Encyclopedia of Mathematics , bind 2, 1979 , st. 384.
↑ Alan F. Beardon. De diskrete gruppers geometri, 1983 , s. 56.
↑ 1 2 3 Encyclopedia of Elementary Mathematics . Tredje bog, 1952 , s. 56-57.
↑ 1 2 3 Efimov N. V. Kort kursus i analytisk geometri, 2005 , 119, s. 120.

Litteratur

Efimov N. V. Et kort kursus i analytisk geometri: Uchebn. godtgørelse. 13. udgave, stereo. M.: FIZMATLIT, 2005. 238 s., ill. ISBN 5-9221-0252-4 .
Matematisk encyklopædi : Ch. udg. I. M. Vinogradov , bind 2 D-Koo. M .: "Sovjetisk Encyklopædi", 1979. 1104 stb., Ill.
Encyclopedia of Elementary Mathematics . Bog tre. Funktioner og grænser (grundlæggende analyser) / Ed. P.S. Aleksandrov , A.I. Markushevich og A. Ya. Khinchin . M., L.: Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1952. 559 s., ill.
Alan F. Beardon. Geometrien af diskrete grupper. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 s., 93 ill.