Lokalt kompakt plads

Et lokalt kompakt rum er et topologisk rum , hvor hvert punkt har et åbent kvarter , hvis lukning er kompakt [1] [2] [3] . Nogle gange bruges en svagere definition: det er tilstrækkeligt, at hvert punkt har et kompakt naboskab (det antages ikke åbenhed i nabolaget her) [4] [5] . I tilfælde af et Hausdorff-rum er disse definitioner ækvivalente.

Eksempler

Enhver kompakt plads er lokalt kompakt.
Ethvert euklidisk rum er lokalt kompakt. Dette følger af Heine-Borel-lemmaet , og også af det faktum, at produktet af et begrænset antal kompakte rum er kompakt. $\mathbb {R} ^{n}$
Intet uendeligt -dimensionelt normeret rum er dog lokalt kompakt.
Enhver topologisk manifold er lokalt kompakt.
Diskrete rum er lokalt kompakte (nogle gange kaldet manifolds med dimension 0), mens uendelige diskrete rum ikke er kompakte.
Enhver lukket delmængde af et lokalt kompakt rum er lokalt kompakt.

Egenskaber

Et lokalt kompakt Hausdorff-rum er et helt almindeligt rum .

En etpunktskomprimering af et topologisk rum er Hausdorff, hvis og kun hvis det er lokalt kompakt og Hausdorff. $x$ $x$

Et underrum X af et lokalt kompakt Hausdorff-rum er lokalt kompakt, hvis og kun hvis der er lukkede delmængder A og B , således at . Dette indebærer, at en tæt delmængde af et lokalt kompakt Hausdorff-rum er lokalt kompakt, hvis og kun hvis det er åbent. Desuden, hvis et underrum af et vilkårligt Hausdorff-rum er lokalt kompakt, så kan det skrives som forskellen mellem to lukkede undermængder; det omvendte udsagn er ikke længere sandt i dette tilfælde. $X=A\omvendt skråstreg B$

Produktet af en familie af topologiske rum er lokalt kompakt, hvis og kun hvis alle rum i familien er lokalt kompakte og alle, undtagen måske et endeligt antal, er kompakte.

Billedet af et lokalt kompakt rum under en kontinuerlig åben mapping på et Hausdorff-rum er lokalt kompakt.

Faktorrum af lokalt kompakte Hausdorff-rum er kompakt genereret . Omvendt er ethvert kompakt genereret Hausdorff-rum en kvotient af et lokalt kompakt Hausdorff-rum.

Lokalt kompakte grupper

Definitionen af lokal kompakthed er især vigtig i studiet af topologiske grupper , da en Haar-mål kan indføres på enhver Hausdorff lokalt kompakt gruppe , hvilket gør det muligt at integrere funktioner på denne gruppe. Lebesgue-målet på er et særligt tilfælde af Haar-målet. $\mathbb {R}$

Pontryagin-dualen af en Abelsk topologisk gruppe A er lokalt kompakt, hvis og kun hvis A er lokalt kompakt. Mere præcist er kategorien af lokalt kompakte abelske grupper selv-dual med hensyn til Pontryagin-dualitet. Lokalt kompakte Abeliske grupper bruges i harmonisk analyse , hvoraf en af de moderne sektioner er baseret på deres undersøgelse.

Noter

↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementær topologi. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 .
↑ P. S. Alexandrov. Introduktion til mængdelære og generel topologi. — M .: GIITL, 1948.
↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. M. Fomenko. Introduktion til topologi. 2. udg., tilf. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 .
↑ J.L. Kelly. Generel topologi. — M .: Nauka, 1968.
↑ Munkres, James (1999). Topologi (2. udgave). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .

Litteratur

Engelking R. Generel topologi. —M.:Mir, 1986. — 752 s.