Kompleks funktion

En kompleks funktion er hovedobjektet for undersøgelse af funktionsteorien for en kompleks variabel , en kompleks værdisat funktion af et komplekst argument: . $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Ud over en kompleks værdisat funktion af en reel variabel kan den repræsenteres som:

f(z)=u(z)+iv(z)

hvor og er reelle værdier af funktioner af et komplekst argument, kaldet henholdsvis den reelle og den imaginære del af funktionen . I modsætning til reelle funktioner er der en dybere sammenhæng mellem ekspansionskomponenterne, for eksempel, for at en funktion skal kunne differentieres i betydningen en funktion af en kompleks variabel, skal Cauchy-Riemann-betingelserne være opfyldt : $u(z)$ $v(z)$ $f(z)$ $f(z)$

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

;

{\frac {\partial u}{\partial y))=-{\frac {\partial v}{\partial x))

Eksempler på analytiske funktioner af en kompleks variabel er: potensfunktion , eksponentiel , gammafunktion , Riemann zetafunktion , spinalfunktion og mange andre, såvel som deres inverse funktioner og enhver kombination af dem. Imidlertid er den reelle del af det komplekse tal , den imaginære del , den komplekse konjugation , modulet og argumentet ikke analytiske funktioner af en kompleks variabel, da de ikke opfylder Cauchy-Riemann-betingelserne. ${\mathrm {Re}}\,z$ ${\mathrm {Im}}\,z$ ${\barz}$ $r=|z|$ $\varphi (z)$

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Pr. fra engelsk. - 2. udg., revideret. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel: En manual for videregående uddannelse. - M. - L .: Statens Forlag, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. - M. : Nauka, 1974. - 320 s.