Konjugerer tal

Konjugerede tal ( komplekse konjugerede tal ) er et par komplekse tal , der har de samme reelle dele og lige i absolut værdi , men modsat i fortegn, imaginære dele [1] . For eksempel er tal og konjugeret . Konjugatet af et tal er angivet med . I det generelle tilfælde er konjugatet til et tal (hvor og er reelle tal ) . $3+4i$ $3-4i$ $z$ $\overline{z}$ $z=a+ib$ $-en$ $b$ ${\overline {z}}=a-ib$

For eksempel:

{\overline {(3-2i)))=3+2i

{\overline {7}}=7

{\overline {i}}=-i.

På det komplekse plan er konjugerede tal repræsenteret af punkter, der er symmetriske om den reelle akse. I det polære koordinatsystem har de konjugerede tal formen og , som følger direkte af Euler-formlen . ${\displaystyle re^{i\phi ))$ $re^{-i\phi }$

Konjugerede tal er rødderne til en andengradsligning med reelle koefficienter og en negativ diskriminant.

Egenskaber

For vilkårlige komplekse tal og : $z$ $w$

${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$ ,
${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$
${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ er et reelt tal,
${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ for alle heltal , $n$
$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ,
${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$ ,
${\overline {\overline {z}}}=z$ (det vil sige, konjugation er en involution ),
${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}({\left|z\right|}^{2))))$ hvis ikke lig med nul. Denne egenskab bruges til at beregne den reciproke værdi af et komplekst tal givet i rektangulære koordinater. $z$

Hvis er en holomorf funktion, hvis begrænsning til mængden af reelle tal er en reel funktion, og er defineret , så: $\phi$ $\phi (z)$

\phi ({\overline {z)))={\overline {\phi (z)))

I særdeleshed:

$\exp({\overline {z)))={\overline {\exp(z)))$
$\log({\overline {z)))={\overline {\log(z)))$ hvis ikke lig med nul. $z$
hvis er et polynomium med reelle koefficienter og , så også , dvs. de komplekse (ikke reelle) rødder af sådanne polynomier danner altid komplekse konjugerede par. $s$ $p(z)=0$ $p({\overline {z)))=0$

Bestemmelse af koordinaterne for et tal og konjugation

De rektangulære og polære koordinater af et komplekst tal kan bestemmes ved hjælp af formlerne:

$x=\operatørnavn {Re} \,(z)=(z+{\overline {z))))/2$
$y=\operatørnavn {Im} \,(z)=(z-{\overline {z)))/2i$
$\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z))))$
$e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z))))$ (hvis ikke lig med nul). $z$

Noter

↑ Weisstein, Eric W. Complex Conjugates på Wolfram MathWorld- webstedet .

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk