Algebra over ringen

En algebra over en ring er et algebraisk system , der både er et modul over denne ring og selve ringen, og disse to strukturer er forbundet med hinanden. Begrebet en algebra over en ring er en generalisering af begrebet en algebra over et felt , ligesom begrebet et modul generaliserer begrebet et vektorrum .

Definitioner

Lad være en vilkårlig kommutativ ring med identitet. Et modul over en ring , hvor for en given bilineær kortlægning (bilineær ikke over et felt, men over en ring ) , et produkt er defineret i henhold til ligheden , kaldes en algebra over eller -algebra . $K$ $EN$ $K$ $K$ $f\colon A\times A\rightarrow A$ $ab=f(a,b)$ $K$ $K$

Ifølge definitionen er for alle og relationerne gyldige: $k,\;l\i K$ $a,\;b,\;c\in A$

$a(b+c)=ab+ac$
$(a+b)c=ac+bc$
$(k+l)a=ka+la$
$k(a+b)=ka+kb$
$k(la)=(kl)a$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)$
$1a=a$ , hvor er ringens enhed $en$ $K$

Med hensyn til operationerne addition og multiplikation er en algebra en ring.

For , kommutatoren er defineret af ligheden . -algebra kaldes kommutativ hvis . $-en$ $b\i A$ $[a,b]=ab-ba$ $K$ $[a,b]=0$

For associatoren er defineret af ligheden . -algebra kaldes associativ hvis . $a,b,c\i A$ $(a,b,c)=(ab)ca(bc)$ $K$ $(a,b,c)=0$

Hvis der er et element sådan for alle , så kaldes det algebraens enhed , og selve algebraen kaldes en algebra med enhed . $e\i A$ $ea=ae=a$ $a\i A$ $e$ $EN$

Nogle gange defineres en algebra også over ikke-kommutative ringe; i dette tilfælde kræves der i stedet for betingelsen en svagere tilstand: . $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ $k(ab)=(ka)b$

Enhver ring kan betragtes som en algebra over ringen af heltal , hvis vi forstår produktet (hvor er et heltal) normalt, det vil sige som en sum af kopier . Derfor kan ringe betragtes som et særligt tilfælde af algebraer. $na$ $n$ $n$ $-en$

Hvis vi i stedet for en bilineær kortlægning vælger en multilineær kortlægning og definerer produktet efter reglen: , så kaldes den resulterende algebraiske struktur en -algebra. $f$ $g:A^{n}\højrepil A$ $a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})$ $n$

Gratis algebra

Hvis en algebra over en kommutativ ring er et frit modul , så kaldes det en fri algebra og har en basis over en ring . Hvis en algebra har en endelig basis, så siges algebraen at være finitdimensional. $EN$ $K$ $K$ $EN$ $EN$

Hvis er et felt , så er -algebraen per definition et vektorrum over og har derfor en basis . $K$ $K$ $K$

Grundlaget for en endelig-dimensionel algebra er normalt betegnet med . Hvis algebraen har en enhed , så indgår enheden normalt i grundlaget og antages at være . Hvis algebraen har en endelig basis, så kan produktet i algebraen let gendannes baseret på multiplikationstabellerne: $e_{1},\dots ,e_{n}$ $e$ $e_{0}=e$

e_{i}e_{j}=C_{{ij}}^{k}e_{k}

Nemlig, hvis , , så kan produktet repræsenteres som: $a=a^{k}e_{k}$ $b=b^{k}e_{k}$

ab=C_{{ij}}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

Størrelserne kaldes algebraens strukturkonstanter . $C_{{ij}}^{k}\i K$ $EN$

Hvis algebraen er kommutativ, så:

C_{{ij}}^{k}=C_{{ji}}^{k}

Hvis algebraen er associativ, så:

C_{{ij}}^{k}C_{{ml}}^{j}=C_{{im}}^{j}C_{{jl}}^{k}

Egenskaber

Fra algebraen af polynomier (i et tilstrækkeligt stort antal variabler) over et felt , som et homomorfisk billede, kan man få en hvilken som helst associativ-kommutativ algebra over . $K$ $K$

Kortlægning af algebra

Det er muligt at betragte en algebra over en kommutativ ring som et modul over en kommutativ ring . En kortlægning fra en algebra over en kommutativ ring til en algebra over en ring siges at være lineær, hvis: $EN$ $K$ $EN$ $K$ $f:A\højrepil B$ $EN$ $K$ $B$ $K$

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(ka)=kf(a)

for enhver , , . Sættet af lineære afbildninger fra en algebra til en algebra er angivet med symbolet . $-en$ $b\i A$ $k\in K$ $EN$ $B$ ${\mathcal L}(A;B)$

En lineær kortlægning af en algebra til en algebra kaldes en homomorfi, hvis for nogen , og betingelsen er også opfyldt: hvis algebraerne og har en enhed, så: $f:A\højrepil B$ $EN$ $B$ $f(ab)=f(a)f(b)$ $a,b\in A$ $EN$ $B$

f(e_{A})=e_{B}

Sættet af homomorfier af en algebra til en algebra er angivet med symbolet . $EN$ $B$ $H(A;B)$

Det er åbenlyst . $H(A;B)\subseteq {\mathcal L}(A;B)$

Eksempler

Generel:

kvadratmatrix algebraer
polynomielle algebraer
algebra af formelle potensrækker

Algebraer over feltet af reelle tal :

Litteratur

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitel III. Ringe og moduler // Generel algebra / Red. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 30.000 eksemplarer. — ISBN 5-02-014426-6 .

Algebra over ringen
Dimension - Power of 2	Komplekse tal (størrelse 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (størrelse 4) $\mathbb {H}$ Cayley-tal/oktonioner/oktaver (størrelse 8) $\mathbb O$ Sedenioner (størrelse 16) $\mathbb S$
se også	Frobenius sætning Hyperkomplekst tal Algebra Legeme imaginær enhed