Funktion (kompleks analyse)
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. november 2020; verifikation kræver 1 redigering .En singularitet eller singularitet af en holomorf funktion f er et punkt på det komplekse plan , hvor denne funktion ikke er defineret, dens grænse er uendelig, eller der er ingen grænse overhovedet.
For analytiske funktioner med flere værdier betragtes forgreningspunkter også som singulariteter .
To klassifikationer af enkeltpunkter er mulige. For det første er en klassificering i henhold til mængdeteoretiske egenskaber af deres mængde tilladt:
- Et isoleret entalspunkt er et punkt, for hvilket der findes et eller andet punkteret kvarter , hvor denne funktion er analytisk .
- Et ikke-isoleret entalspunkt er et entalspunkt, der ikke er isoleret. I dette tilfælde kan vi tale om det såkaldte specielle sæt .
Typer af singulariteter
Til gengæld kan isolerede funktioner opdeles i tre typer:
- Et flytbart singularpunkt er et punkt, hvor funktionen ikke er defineret, men grænsen for funktionen, hvor er henholdsvis finit, på dette tidspunkt kan funktionen udvides med værdien af denne grænse og udvides til en funktion, der er analytisk på dette tidspunkt.
- En pol er et punkt, hvor grænsen for en funktion er uendelig. Når man betragter en funktion som en afbildning ikke til det komplekse plan, men til Riemann-sfæren , bør polen ikke betragtes som et enkelt punkt; se meromorf funktion .
- Et væsentligt entalspunkt er et punkt, hvor grænsen for en funktion ikke eksisterer.
Singulariteter på Riemann overflader
Singulariteter kan også overvejes for holomorfe funktioner defineret på Riemann overflader . Især hvis variablen z får lov til at tage værdier ikke kun på det komplekse plan, men på Riemann-sfæren , så bestemmes singulariteten ved uendelig for funktionen f af graden af "singularitet" af punktet 0 for funktionen .
