Zhukovsky funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. juni 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Zhukovsky-funktionen er en konform kortlægning , der bruges til at beskrive nogle af de principper, der er forbundet med flyvingeprofiler . Opkaldt efter N. E. Zhukovsky på grund af de anvendelser, han gav til denne funktion i aerodynamik [1] . Henviser til de klassiske elementære funktioner i kompleks analyse , da de fleste trigonometriske og hyperbolske funktioner kan repræsenteres som en superposition af eksponenten og Zhukovsky-funktionen [2] .

Definition

Zhukovsky-funktionen er defineret som en transformation af det komplekse plan ifølge formlen [1] $f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).

Zhukovsky-funktionen kan også defineres som en sammensætning af en brøk-rationel og kvadratisk funktion [3] :

f(z)=(S_{1}^{-1}\circ S_{2}\circ S_{1})(z),

hvor

S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1)),\;S_{2}(z)=z^{2}.

Egenskaber

$f(z)=f\left({\frac {1}{z}}\right)$ [1] .
Det omvendte til Zhukovsky-funktionen er funktionen [4] . $g(z)=z+{\sqrt {z^{2}-1))$
$f'(z)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ forskellig fra nul ved . Derfor er kortlægningen konform overalt bortset fra disse punkter [5] . $z\neq\pm 1$ $f(z)$
Zhukovsky-funktionen udfører følgende konforme kortlægninger [2] :

cirkel på hele det komplekse plan med et snit langs et segment af den reelle akse. $\left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace$ $(-1,1)$
en cirkel med snit langs segmenterne og , hvor på hele det komplekse plan med et snit langs segmentet . $\left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace$ $(b,1)$ $(-1,-a)$ $0<a,b<1$ $\left(-{\frac {1}{2}}\left(a+{\frac {1}{a}}\right),{\frac {1}{2}}\left(b+{ \frac {1}{b}}\right)\right)$
det øverste halvplan til hele det komplekse plan med et snit langs strålerne og på den reelle akse. $(-\infty ,-1)$ $(1,+\infty )$
halvcirkel til det nederste halvplan. $\left\lbrace z:|z|<1,{\mbox{Im}}\,z>0\right\rbrace$
en cirkel, der går gennem punktet og indeholder punktet i en lukket kurve, svarende til profilen af en flyvinge og kaldet Zhukovsky-Chaplygin profilen. Ved at variere radius og placering af cirklens centrum kan du ændre bøjningsvinklen og tykkelsen af vingen [6] . $en$ $-en$

Karman-Trefftz transformation

En generalisering af Zhukovsky-funktionen er Karman-Trefftz-transformationen, som relaterer den oprindelige variabel til den transformerede lighed $z$ $\zeta$

{\frac {\zeta -k}{\zeta +k))={\frac {(z-1)^{k)){(z+1)^{k))},

hvor . Når det viser sig [7] . $k<2$ $k=2$ $\zeta =2f(z)$

Noter

↑ 1 2 3 Markushevich, 1957 , s. 76.
↑ 1 2 Evgrafov, 1991 , s. 190.
↑ Markushevich, 1957 , s. 80.
↑ Evgrafov, 1991 , s. 188.
↑ Markushevich, 1957 , s. 79.
↑ Markushevich, 1957 , s. 327-328.
↑ Milne-Thomson, 1973 , s. 129.

Litteratur

Evgrafov, M. A. Analytiske funktioner. - 3. udg., revideret. og yderligere —M.:Nauka, 1991. — 448 s. —ISBN 5-02-014200-X.
Markushevich, AI Et kort kursus i teorien om analytiske funktioner. -M.:Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1957.
Milne-Thomson, L.M. Teoretiskaerodynamik . — 4. udg. — New York: Dover Publications , 1973. — ISBN 0-486-61980-X .