Hyperreelle tal

Hyperreelle tal ( hyperreale tal ) - en udvidelse af feltet af reelle tal , som indeholder tal større end alle repræsentative i form af en endelig sum . $\mathbb {R}$ $1+1+\cdots +1$

Udtrykket "hyperreal number" ( eng. hyper-real number ) blev foreslået af den amerikanske matematiker Edwin Hewitt i 1948 [1] . Teorien om feltet for hyperreelle tal som en udvidelse af feltet for reelle tal blev offentliggjort i 1960'erne af Abraham Robinson , som kaldte det " ikke-standardanalyse ". Robinson beviste også konsistensen af denne teori (mere præcist reducerede han problemet til konsistensen af reelle tal).

Teorien om hyperreelle tal giver en stringent tilgang til beregningen af uendeligt store og uendeligt små mængder, som i dette tilfælde, i modsætning til standardanalyse, ikke er variable, men konstanter, det vil sige tal. I ikke-standardanalyse, på et moderne grundlag, rehabiliteres ideen, der går tilbage til Leibniz og hans tilhængere om eksistensen af faktiske infinitesimale størrelser andre end nul, en idé, der i den historiske udvikling af matematisk analyse blev erstattet af begrebet en variabel grænse . Det er mærkeligt, at ideer om faktiske uendeligt store og uendeligt små mængder blev bevaret i lærebøgerne i fysik og andre naturvidenskaber, hvor sætninger som "lad der være et (uendeligt lille) volumenelement ..." [2] ofte findes . $dV$

Formel definition

Sættet af hyperreelle tal er et ikke-arkimedisk ordnet felt , en udvidelse af feltet med reelle tal , som indeholder tal større end alle, der kan repræsenteres som en endelig sum . Hvert sådant tal er uendeligt stort , og dets gensidige er uendeligt lille . $^{*}\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $1+1+\cdots +1$

Hyperreelle tal opfylder overførselsprincippet, en streng variant af Leibniz ' heuristiske kontinuitetsprincip . Overførselsprincippet siger, at udsagn i førsteordens logik om også er sande for . For eksempel er reglen om kommutativitet for addition gyldig for hyperreelle tal på samme måde som for reelle tal. Overførselsprincippet for ultramagter er en konsekvens af Los' teorem (1955). Egenskaberne for aritmetiske operationer med hyperreelle tal er grundlæggende de samme som for reelle tal. $\mathbb {R}$ $^{*}\mathbb {R}$ $x+y=y+x$

Studiet af uendelige mængder går tilbage til den antikke græske matematiker Eudoxus af Cnidus , som brugte udmattelsesmetoden til at beregne dem . I 1961 beviste A. Robinson , at feltet af reelle tal kan udvides til et sæt ( et ordnet ikke-arkimedisk felt), der indeholder uendeligt små og uendeligt store elementer i den forstand, som Leibniz og andre matematikere fra det 18. århundrede satte ind i disse begreber [ 3] .

Anvendelsen af hyperreelle tal og især overførselsprincippet i problemer med matematisk analyse kaldes ikke-standardanalyse . En af de umiddelbare anvendelser er at definere de grundlæggende analysebegreber, såsom den afledede og integralet direkte, uden at bruge overgangen til grænsen eller komplekse logiske konstruktioner. Således bliver definitionen af den afledte fra analytikken rent aritmetisk: $f(x)$

f'(x)=\operatørnavn {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)

for infinitesimal , hvor betyder standarddelen af tallet , som forbinder hvert endeligt hyperreelt tal med det eneste reelle tal, der er uendeligt tæt på det. $\Delta x$ $\operatørnavn {st}$

Felt med hyperreelle tal

Feltet med hyperreelle tal består af tre dele [4] : $^{*}\mathbb {R}$

negative uendelige tal,
endelige tal
positive uendelige tal.

Endelige tal kan til gengæld opdeles i to kategorier: almindelige reelle og ikke-standardiserede . Hvert ikke-standard endeligt tal kan entydigt repræsenteres som: hvor er et reelt tal og er et uendeligt lille (positivt eller negativt). Når , opnås et sæt infinitesimals. Hvert reelt tal viser sig således at være indhyllet i en aura ( monade ) af dets hypermaterielle modstykker, uendeligt tæt på det [5] . $a+\epsilon ,$ $-en$ $\epsilon$ $a=0$

Algebraisk struktur

Antag, at det er Tikhonov-rummet , som også kaldes -rum, og er algebraen for kontinuerlige reelle funktioner på . Lad der være et maksimalt ideal i . Så er kvotientringen , per definition en reel algebra og kan betragtes som et lineært ordnet sæt . Hvis det strengt taget indeholder , så kaldes det et hyperrealistisk ideal (i Hewitts terminologi, 1948) og et hyperrealistisk felt. Bemærk, at denne antagelse ikke betyder, at feltets kraft er større end feltets kraft, de kan faktisk have den samme kraft. $x$ $T_{3.5}$ $C(X)$ $x$ $M$ $C(X)$ $A=C(X)/M$ $F$ $\mathbb {R}$ $M$ $F$ $F$ $\mathbb {R}$

Et vigtigt specialtilfælde er, hvis rummet er et diskret rum , i dette tilfælde kan det identificeres med mængdens kardinalitet og med den virkelige algebra af funktioner fra . De hyperreale felter, som vi opnår i dette tilfælde, kaldes ultrakræfter og er identiske med ultrakræfterne konstrueret via frie ultrafiltre i den generelle topologi . $x$ $x$ $\kappa$ $C(X)$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\kappa ))$ $\kappa$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Noter

↑ Hewitt, Edwin (1948). "Ringe af reelt værdifulde kontinuerlige funktioner. JEG". Trans. amer. Matematik. Soc . 64 :45-99. DOI : 10.1090/s0002-9947-1948-0026239-9 .
↑ Se for eksempel: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Fysikkursus . M.: Higher School, 1999, S. 128 ff.
↑ Panov V.F. Gammel og ung matematik. - Ed. 2., rettet. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Uspensky, 1987 , s. tyve.
↑ Uspensky, 1987 , s. 19-21.

Litteratur

Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitesimal analyse . - Novosibirsk: Institut for Matematik, 2006.
Davis M. Anvendt ikke-standardanalyse. — M .: Mir, 1980.
Uspensky V. A. Hvad er ikke-standardanalyse. — M .: Nauka, 1987.

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Beregning af infinitesimals og infinitesimals
Historie	Leibniz notation Integralskilt Udeleliges metode
Relaterede destinationer	Tilpasset analyse
Formalismer	Differential
Begreber	Standard del af et nummer Overgangsprincip Hyperinteger Inkrementsætning Monad Internt sæt Field of Levi-Civita Hyperfinite sæt Kontinuitetsloven overløb Mikrokontinuitet Transcendent lov om homogenitet
Videnskabsmænd	Archimedes Leibniz Robinson Gård Cauchy Euler
Litteratur	Analyse af infinitesimals Elementære beregninger Analyse kursus