Ring af polynomier

En polynomialring er en ring dannet af polynomier i en eller flere variable med koefficienter fra en anden ring. Studiet af egenskaberne ved polynomiumringe har haft stor indflydelse på mange områder af moderne matematik; der kan gives eksempler på Hilberts basissætning , konstruktionen af nedbrydningsfeltet og studiet af egenskaber ved lineære operatorer .

Polynomier i én variabel over et felt

Polynomier

Et polynomium i x med koefficienter i feltet k er et udtryk for formen

p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0},

hvor p 0 , ..., p m er elementer af k , koefficienter p , og x , x 2 , ... er formelle symboler ("grader x "). Sådanne udtryk kan tilføjes og multipliceres i henhold til de sædvanlige handlingsregler med algebraiske udtryk (kommutativitet af addition, distributivitet , reduktion af lignende udtryk osv.). Udtrykkene p k x k med nul koefficient p k er normalt udeladt fra notationen. Ved hjælp af sumsymbolet skrives polynomier i en mere kompakt form:

p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0}=\sum _{k=0 }^{m}p_{k}x^{k}.

Polynomial ring k [ x ]

Mængden af alle polynomier med koefficienter i danner en kommutativ ring , betegnet og kaldet ringen af polynomier over . Et symbol omtales almindeligvis som en "variabel", denne terminologi stammer fra overvejelsen af polynomielle funktioner over eller over . Men generelt er polynomier og polynomielle funktioner forskellige ting; for eksempel, over et begrænset felt af et primtal af elementer, polynomier og definere den samme funktion, men disse er forskellige polynomier (polynomier betragtes som ens, hvis og kun hvis alle deres koefficienter falder sammen). Variablen kan derfor ikke anses for at høre til feltet ; Man kan tænke på en ring som denne: vi tilføjer et nyt element til feltets elementer og kræver kun, at ringens aksiomer holder og pendler med feltets elementer. $k$ $k[x]$ $k$ $x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {F} _{p}$ $s$ $x^{1}$ $x^{p+1}$ $x$ $k$ $k[x]$ $x$ $x$

Fordi elementerne i en polynomialring kan multipliceres med " skalarer " fra et felt , er det i virkeligheden en associativ algebra over et felt . Betragtet som et vektorrum (det vil sige "glem" alt om multiplikation), har det en uendelig basis af elementer , osv . $k$ $k$ $k[x]$ $1=x^{0}$ ${\displaystyle x=x^{1))$ $x^{2}$

Primfaktorisering i k [ x ]

I en ring k [ x ] kan et polynomium divideres med et andet (for eksempel ved hjælp af kolonneopdelingsalgoritmen ) med en rest. I dette tilfælde vil graden af resten være mindre end graden af divisoren, dette gør funktionen "grad af polynomiet" euklidisk funktion , og ringen af polynomier - euklidisk . Det følger heraf, at det i ringen af polynomier er muligt at implementere den euklidiske algoritme til at finde den største fælles divisor , hvilket betyder, at der sker en nedbrydning til simple (sådanne ringe kaldes faktorielle ). Det følger også heraf, at k [ x ] er et principielt idealdomæne .

Faktor ringer k [ x ]

Betragt en kommutativ ring L , der indeholder et felt k , således at der eksisterer et element θ af ringen L , således at L genereres af θ over k , dvs. ethvert element af L kan udtrykkes i form af θ og koefficienterne fra feltet k vha . addition og multiplikation. Så er der en unik ringhomomorfi φ fra k [ x ] til L , der "bevarer" k og sender x til θ . Surjektiviteten af denne kortlægning betyder præcis, at L genereres af θ over k . Ved at anvende homomorfi-sætningen på denne kortlægning får vi, at L er isomorf i forhold til kvotientringen k [ x ] med hensyn til kernen φ ; da ethvert ideal i k [ x ] er principal ,

L\simeq k[x]/(p).

Et vigtigt specialtilfælde er, når ringen, der indeholder k , i sig selv er et felt; lad os betegne det K . Enkelhed af kvotientmodulet svarer til irreducerbarhed . Primitive element -sætningen siger, at enhver finit adskillelig forlængelse kan genereres af et enkelt element og har derfor form af en polynomiel ringfaktor over et mindre felt af et irreducerbart polynomium. Et eksempel er feltet med komplekse tal , der genereres over R af et element i , således at i 2 + 1 = 0 . Følgelig er polynomiet x 2 + 1 irreducerbart over R og $(p)$ $s$

\mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).

Mere generelt, for en vilkårlig (selv ikke-kommutativ) ring A , der indeholder k og et element a af A , der pendler med alle elementer i k , er der en unik ringhomomorfi fra k [ x ] til A , der sender x til a :

\phi :k[x]\to A,\quad \phi (x)=a.

Eksistensen og unikheden af en sådan homomorfi er udtrykt i form af en bestemt universel egenskab af polynomialringen og forklarer en vis "unik" af polynomialringen i forskellige konstruktioner af ringteori og kommutativ algebra .

Moduler

k [ x ] er et principielt ideelt domæne , så den tilsvarende struktursætning gælder for moduler over det . Denne klassificering er vigtig i teorien om lineære operatorer , da moduler over k [ x ] svarer en-til-en til lineære operatorer på et k -vektorrum.

Polynomier over en ring

Polynomier over en ring er defineret på nøjagtig samme måde som polynomier over et felt, men de fleste af de egenskaber, der er anført ovenfor, holder op med at være sande for dem. For det første kan divisionsalgoritmen ikke anvendes på polynomier over en vilkårlig ring, fordi det i en ring er umuligt at dividere selv med polynomier af grad nul (konstant). Derfor er en polynomialring generelt ikke euklidisk (heller ikke engang et principielt ideelt domæne), men R [ x ] vil forblive faktoriel , hvis R selv er faktoriel. På samme måde bevares integriteten og de noetherske egenskaber ved overgang til en polynomialring (sidstnævnte resultat er kendt som Hilberts basissætning ).

Polynomier i flere variabler

Definition

Et polynomium i n variable X 1 ,..., X n med koefficienter i feltet K er defineret på samme måde som et polynomium i en variabel, men notationen bliver mere kompliceret. For ethvert multiindeks α = ( α 1 ,…, α n ), hvor hvert α i er et ikke-nul heltal, lad

X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{\alpha _{i}}=X_{1}^{\alpha _{1}}\ ldots X_{n}^{\alpha _{n)),\quad p_{\alpha }=p_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n))\in \mathbb {K} .\

X α kaldes et monomial af grad . Et polynomium er en endelig lineær kombination af monomer med koefficienter i K : . ${\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i))$ ${\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha ))$

Polynomier i n variable med koefficienter i et felt k (med de sædvanlige operationer med addition og multiplikation) danner en kommutativ ring, betegnet med k [ x 1 ,..., x n ]. Denne ring kan opnås ved gentagne gange at anvende operationen "at tage en ring af polynomier over en given ring". For eksempel er k [ x 1 , x 2 ] isomorf til k [ x 1 ][ x 2 ], ligesom k [ x 2 ][ x 1 ]. Denne ring spiller en grundlæggende rolle i algebraisk geometri . Mange resultater i kommutativ algebra er blevet opnået gennem studiet af idealerne for denne ring og moduler over den.

Hilberts nulsætning

Adskillige fundamentale resultater vedrørende forholdet mellem ringidealer k [ x 1 ,…, x n ] og algebraiske undervarieteter k n er samlet kendt som Hilberts nulsætning.

( svag form, algebraisk lukket felt ) Lad k være et algebraisk lukket felt . Så har enhver maksimal ideal m af ringen k [ x 1 ,…, x n ] formen

m=(x_{1}-a_{1},\ldots,x_{n}-a_{n}),\quad a=(a_{1},\ldots,a_{n})\in k^{n}.

( svag form, ethvert felt af koefficienter ) Lad k være et felt, K være et algebraisk lukket felt indeholdende k , og I et ideal i ringen k [ x 1 ,..., x n ]. Så indeholder I 1 hvis og kun hvis polynomierne i I ikke har et fælles nul i K n .
( stærk form ) Lad k være et felt, K et algebraisk lukket felt indeholdende k , I et ideal i ringen k [ x 1 ,..., x n ] og V ( I ) en algebraisk undervarietet , K n defineret af I . Lad f være et polynomium lig med nul i alle punkter af V ( I ). Så hører en vis grad f til idealet I .

Ved at bruge definitionen af det ideelle radikal , siger denne sætning, at f hører til radikal I. En umiddelbar konsekvens af denne form for sætningen er eksistensen af en bijektiv overensstemmelse mellem radikale idealer K [ x 1 ,…, x n ] og algebraiske subvarieteter af et n -dimensionelt affint rum K n .

Se også

Litteratur

Tsit Yuen Lam. Et første kursus i ikke-kommutative ringe. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2001. - ISBN 978-0-387-95325-0 .
Serge Lang. Algebra. — 3. - New York: Springer-Verlag, 2002. - V. 211. - (Kandidattekster i matematik). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
M. Scott Osborne. Grundlæggende homologisk algebra. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000. - T. 196. - (Kandidattekster i matematik). - ISBN 978-0-387-98934-1 .