Delbarhed

Delbarhed er et af de grundlæggende begreber inden for aritmetik og talteori forbundet med divisionsoperationen . Set fra mængdelærens synspunkt er deleligheden af heltal en relation defineret på mængden af heltal .

Definition

Hvis der for et eller andet heltal og et heltal eksisterer et sådant heltal , så siger de, at tallet er deleligt med eller som dividerer $-en$ $b$ $q$ $bq=a,$ $-en$ $b$ $b$ $en.$

I dette tilfælde kaldes tallet for tallets divisor , dividenden vil være et multiplum af tallet , og tallet kaldes kvotienten for at dividere med . $b$ $-en$ $-en$ $b$ $q$ $-en$ $b$

Selvom egenskaben delelighed er defineret på hele sættet af heltal , tages der normalt kun hensyn til deleligheden af naturlige tal . Især tæller funktionen af antallet af divisorer af et naturligt tal kun dets positive divisorer.

Notation

$a\,\vprikker \,b$ betyder [1] , som er deleligt med , eller at tallet er et multiplum af . $-en$ $b$ $-en$ $b$

$b/midt a$ betyder, at deler , eller, hvad er det samme: - divisor . $b$ $-en$ $b$ $-en$

Relaterede definitioner

Hvert naturligt tal større end 1 har mindst to naturlige delere: 1 og selve tallet. I dette tilfælde kaldes naturlige tal, der har præcis to divisorer, primtal , og dem med mere end to divisorer kaldes sammensatte . Enheden har præcis én divisor og er hverken prime eller sammensat.
Hvert naturligt tal større end har mindst én primtal divisor . $en$
En korrekt divisor af et tal er enhver anden divisor end selve tallet. Primtal har præcis én rigtig divisor, én.
Begrebet trivielle divisorer bruges også : dette er selve tallet og enheden. Et primtal kan således defineres som et tal, der ikke har andre divisorer end trivielle.
Uanset deleligheden af et heltal med et heltal , kan et tal altid divideres med med en rest , det vil sige repræsenteret som: $-en$ $b\neq 0$ $-en$ $b$ $a=b\,q+r,$ hvor . $0\leqslant r<|b|$

I denne relation kaldes tallet den ufuldstændige kvotient , og tallet er resten af divisionen med . Både kvotienten og resten er entydigt defineret.

q

r

-en

b

Et tal er ligeligt deleligt med hvis og kun hvis resten af division med er nul.

-en

b

-en

b

Ethvert tal, der deler begge og kaldes deres fælles divisor ; det største af disse tal kaldes den største fælles divisor . Hvert par af heltal har mindst to fælles divisorer: og . Hvis der ikke er andre fælles divisorer, kaldes disse tal relativt primtal . $-en$ $b$ $+1$ $-en$
To heltal og siges at være lige delelige med et heltal , hvis enten og , og er deleligt med , eller hverken , eller er deleligt med det. $-en$ $b$ $m$ $-en$ $b$ $m$ $-en$ $b$
Et tal siges at være et multiplum af et tal, hvis det er deleligt med uden en rest. Hvis et tal er deleligt uden rest med tal og , så kaldes det deres fælles multiplum . Det mindste naturlige tal kaldes det mindste fælles multiplum af tallene og . $-en$ $b$ $-en$ $b$ $c$ $-en$ $b$ $c$ $-en$ $b$

Egenskaber

Bemærk: Alle formler i dette afsnit antager, at de er heltal.

a,\,b,\,c

Ethvert heltal er en nuldeler , og kvotienten er nul:

\quad0\,\vdots\,a.

Ethvert heltal er deleligt med et:

\quad a\,\vdots\,1.

Kun nul er deleligt med nul:

a\,\vdots \,0\quad \Højrepil \quad a=0

og kvotienten er ikke defineret i dette tilfælde.

En er kun delelig med en:

1\,\vdots \,a\quad \Højrepil \quad a=\pm 1.

For ethvert heltal er der et heltal for hvilket $a\neq 0$ $b\neq a,$ $b\,\vdots\,a.$

Hvis og så Det følger også, at hvis og derefter $a\,\vprikker \,b$ $\venstre|b\højre|>\venstre|a\højre|,$ $a\,=\,0.$ $a\,\vprikker \,b$ $a\neq 0$ $\left|a\right|\geqslant \left|b\right|.$

For at være nødvendigt og tilstrækkeligt til $a\,\vprikker \,b$ $\venstre|a\højre|\vdots \venstre|b\højre|.$

Hvis da $a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,$ $\venstre(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.$

Delelighedsrelationen af naturlige tal er en relation af ikke-streng rækkefølge , og det er især:
- refleksivt , det vil sige, at ethvert heltal er deleligt med sig selv: $\quad a\,\vdots \,a.$
- transitive , altså hvis og derefter $a\,\vprikker \,b$ $b\,\vdots\,c,$ $a\,\vdots\,c.$
- antisymmetrisk , altså hvis og derefter $a\,\vprikker \,b$ $b\,\vdots\,a,$ $a\,=\,b.$

I heltalssystemet er det kun de to første af disse tre egenskaber, der holder; for eksempel, og men . Det vil sige, at delelighedsforholdet mellem heltal kun er en forudbestilling .

2\,\vdots-2

-2\,\vdots \,2,

2\neq -2

Antal divisorer

Antallet af positive divisorer af et naturligt tal , normalt betegnet , er en multiplikationsfunktion , for hvilken den asymptotiske Dirichlet-formel er sand : $n,$ $\tau(n),$

\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\venstre(N^{\theta}\right).

Her er Euler-Mascheroni-konstanten , og for Dirichlet er dette resultat blevet forbedret mange gange, og er i øjeblikket det bedst kendte resultat (opnået i 2003 af Huxley). Den mindste værdi af , hvor denne formel forbliver sand, er dog ukendt (det er bevist, at den ikke er mindre end ). [2] [3] [4] $\gamma$ $\theta$ ${\frac {1}{2}}.$ $\theta ={\frac {131}{416}}$ $\theta$ ${\frac {1}{4))$

I dette tilfælde vokser den gennemsnitlige divisor af et stort antal n i gennemsnit som , hvilket blev opdaget af A. Karatsuba [5] . Ifølge computerestimater af M. Korolev . ${\frac {c_{1}n}{{\sqrt {\ln n))))$ $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}} \ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\ca. 0{,}7138067$

Generaliseringer

Begrebet delelighed generaliserer til vilkårlige ringe , såsom Gaussiske heltal eller en polynomialring .

Se også

Noter

↑ Vorobyov, 1988 , s. 7.
↑ A. A. Bukhshtab. Talteori . - M . : Uddannelse, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analytisk talteori // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ V. og Arnold. Dynamik, statistik og projektiv geometri af Galois-felter. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 s.

Litteratur

Vinogradov I.M. Fundamentals af talteori. M.-L.: Stat. udg. teknisk og teoretisk litteratur, 1952, 180 s.
Vorobyov N. N. Tegn på delelighed . - 4. udg. - M. : Nauka, 1988. - T. 38. - 96 s. - ( Populære foredrag om matematik ). — ISBN 5-02-013731-6 .
Delbarhed // Encyklopædisk ordbog over en ung matematiker / Komp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik , 1985. - S. 95 . — 352 s.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Britannica (online)

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdeler Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer