Associativitet (matematik)

Associativitet ( kompatibilitet ) er en egenskab ved en binær operation , som består i evnen til sekventielt at anvende en formel i en vilkårlig rækkefølge på elementer . $\cirk$ $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ $x,\;y,\;z$

Udtrykket blev introduceret af William Hamilton i 1853 .

Da resultatet af udtrykket for associative operationer ikke afhænger af anvendelsesrækkefølgen, udelades parenteserne ved notering. For en ikke -associativ operation er udtrykket for ikke defineret uden nærmere aftale om rækkefølgen af anvendelsen. $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $n>2$

Eksempler på associative operationer:

tilføjelse af reelle tal : $(a+b)+c=a+(b+c)$
multiplikation af reelle tal : $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
funktionssammensætning : $(H\cirkel G)\cirkel F=H\cirkel (G\cirkel F)$

Et eksempel på en ikke-associativ operation er eksponentiering - resultatet af udtrykket afhænger direkte af arrangementet af parenteser, i det generelle tilfælde . $a^{b^{c))$ $a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}$

Ikke enhver kommutativ operation er associativ - der er kommutative magmaer med en ikke-associativ.

Associativitet spiller en vigtig rolle i generel algebra : i de fleste af de betragtede strukturer er binære operationer associative ( grupper , ringe , felter , semilattices og gitter ). Teorien om semigrupper undersøger faktisk fænomenet associativitet ved generelle algebraiske metoder. Samtidig overvejes ikke-associative systemer også specielt, nemlig: kvasigrupper , sløjfer , ikke-associative ringe , ikke-associative algebraer . Deres undersøgelse kompliceres af det faktum, at mange egenskaber ved associative systemer ikke holder for dem. Nogle gange viser problemerne med portabilitet af egenskaber til ikke-associative strukturer sig at være ikke-trivielle (for eksempel er spørgsmålet om gyldigheden af Lagranges teorem for endelige sløjfer åbent).

I datalogi betragtes associativitet som en nyttig egenskab, som især giver dig mulighed for at bruge parallelisme til sekventielle anvendelser af en operation. Samtidig viser mange praktiske operationer (addition og multiplikation, når man arbejder med flydende kommatal ) at være ikke-associative.

Egenskaben generaliseres naturligt til det -ary tilfælde: en operation kaldes associativ, hvis identiteten gælder for alle: $n$ $\varphi \colon X^{n}\to X$ $i = 1, \prikker, n$

\varphi (\varphi (x_{1},\dots,x_{n}),x_{n+1},\dots,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\ prikker ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\dots ,x_{2n -en})

Svækkede versioner af associativitetsegenskaben - magtassociativitet , alternativhed , elasticitet - i dem er det kun muligt at ændre rækkefølgen af sekventiel anvendelse i et begrænset sæt tilfælde.

Litteratur

Associativitet - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . O.A. Ivanova, D.M. Smirnov
Shevrin L. N. . Kapitel IV. Semigrupper // Generel Algebra / Under det generelle. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. - 480 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 25.000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0400-4 .