Affin længde
Affin længde er en parameter for en plan kurve , som bevares under equiaffine transformationer (det vil sige arealbevarende affine transformationer ) .
Definition
For en flad kurve beregnes den affine længde ved formlen
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c00124194b1c0af00f122fc292b24614cb002)
hvor betegner krydsproduktet , og og er den første og anden afledte.
Særlige tilfælde
- Den affine længde af en funktionsgraf er givet ved
- Til en kurve med naturlig parameter og krumning
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ad8f2c7ada540f74278afe3f9bf3307e380209)
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca817d2e56a118bb4c0c87f8d9d1cbb77cc5645)
Egenskaber
- Den affine buelængde af en parabel er hvor S er arealet af trekanten dannet af buens korde og tangenterne til parablen ved enderne af buen.
- Blandt konvekse lukkede kurver med en fast affin længde afgrænsede ellipser (og kun de) det mindste område.
![{\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{S)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1053aca4b4d7b8c1562c836a2510e2467fffcd76)
Variationer og generaliseringer
Der er også generaliseringer af affin længde til tilfældet med rumkurver og til den generelle affine gruppe, såvel som til dens andre undergrupper.
Litteratur
- L. Feyesh Tot, Arrangementer på et fly, på en kugle og i rummet , M., Fizmatlit, 1958. - 364 s.