Lige

Den rette linje er et af de grundlæggende begreber i euklidisk geometri . I en systematisk præsentation af geometri tages rette linjer normalt som et af de oprindelige ( udefinerbare ) begreber [1] , deres egenskaber og sammenhæng med andre begreber (for eksempel punkter og planer ) er bestemt af geometriens aksiomer [2] .

Den lige linje er sammen med cirklen en af de ældste geometriske figurer. Gamle geometre anså disse to kurver for at være "perfekte" og anerkendte derfor kun konstruktioner med et kompas og en ligekant . Euklid beskrev en linje som "længde uden bredde", som "ligger lige meget på alle dens punkter" [3] .

Analoger af linjer kan også defineres i nogle typer ikke-euklidiske rum. Hvis grundlaget for at konstruere geometri er begrebet afstanden mellem to punkter i rummet, så kan et lige linjestykke defineres som den korteste kurve, der forbinder disse punkter. For eksempel i Riemannsk geometri spilles lige linjers rolle af geodetik , som er de korteste linjer; på kuglen er storcirklernes buer de korteste buer [4] .

Egenskaber for en ret linje i euklidisk geometri

Udsnit af en ret linje afgrænset af to af dens punkter kaldes segmenter .

Der er uendeligt mange linjer , der kan tegnes gennem ethvert punkt .
Gennem to ikke-sammenfaldende punkter er der kun én lige linje.
To ikke-sammenfaldende rette linjer i planet skærer enten i et enkelt punkt [5] , eller er parallelle (følger af den foregående).
I tredimensionelt rum er der tre muligheder for den relative position af to ikke-sammenfaldende linjer:
- linjer skærer hinanden;
- rette linjer er parallelle ;
- lige linjer skærer hinanden .
En ret linje er en førsteordens algebraisk kurve : i et kartesisk koordinatsystem er en ret linje defineret på en plan af en ligning af første grad ( lineær ligning ).

Ligninger for en ret linje i en plan

Generel ligning for en ret linje

Den generelle ligning for en ret linje i et plan i kartesiske koordinater er :

Axe+By+C=0,

hvor og er vilkårlige konstanter, og konstanterne og er ikke lig med nul på samme tid. $A,B$ $C$ $EN$ $B$

At , linjen er parallel med aksen , ved , den er parallel med aksen . $A=0$ $Okse$ $B=0$ $Åh$

En vektor med koordinater kaldes en normalvektor, den er vinkelret på linjen. $(A,B)$

Ved , går linjen gennem koordinaternes oprindelse . $C=0$

Ligningen kan også omskrives som

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

Ligning for en ret linje med en hældning

Ligning for en ret linje, der skærer aksen i et punkt og danner en vinkel med den positive retning af aksen : $Åh$ $(0,\;b)$ $\varphi$ $Okse$

y=kx+b,\quad k={\mathrm {tg}}\,\varphi .

Koefficienten kaldes linjens hældning . $k$

I denne form er det umuligt at repræsentere en lige linje parallelt med aksen (Nogle gange i dette tilfælde siges det formelt, at hældningen "går til det uendelige".) $Åh.$

Ligning for en ret linje i segmenter

Ligning for en ret linje, der skærer en akse i et punkt og en akse i et punkt : $Okse$ $(a,\;0)$ $Åh$ $(0,\;b)$

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).

I denne form er det umuligt at repræsentere en lige linje, der går gennem oprindelsen.

Normal ligning for en ret linje

x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,

hvor er længden af vinkelret faldet på linjen fra origo, og er vinklen (målt i positiv retning) mellem den positive retning af aksen og retningen af denne vinkelret. Hvis , så passerer linjen gennem origo, og vinklen angiver linjens hældningsvinkel. $s$ $\theta$ $Okse$ $p=0$ $\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2))$

Afledning af normalligningen for en ret linje

Lad en ret linje gives Så og Betragt dens ort for denne vinkelret Lad os antage, at vinklen mellem og aksen er . Siden da kan vi skrive: Overvej nu et vilkårligt punkt Lad os tegne radiusvektoren Find nu projektionen på vektoren Derfor, Dette er normalligningen for den rette linje. ■ $L.$ $OP\perp L$ $|\overrightarrow {OP}|=p.$ $\overrightarrow {e_{p}},|\overrightarrow {e_{p}}|=1.$ $|\overrightarrow {e_{p}}|$ $Okse$ $\theta .$ $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ $\overrightarrow {e_{p}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).$ $M(x,y).$ $\overhøjrepil {OM}=(x,y).$ $\overrightarrow {OM}$ $\overrightarrow {e_{p}}.$ $(\overrightarrow {e_{p}},\overrightarrow {OM})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.$ $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.$

Hvis den rette linje er givet ved den generelle ligning, så segmenterne og segmenterne afskåret af den på akserne, vinkelkoefficienten er afstanden af den rette linje fra koordinaternes oprindelse og udtrykkes i form af koefficienterne , og som følger: $Axe+By+C=0,$ $-en$ $b,$ $k,$ $p,$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $EN$ $B$ $C$

a=-{\frac {C}{A)),\quad b=-{\frac {C}{B)),\quad k={\mathrm {tg))\,\varphi =-{\frac {A}{B)),\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2)),

p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}} }}.

For at undgå usikkerhed, er tegnet foran radikalen valgt, så betingelsen er opfyldt I dette tilfælde, og er retningen cosinus af den positive normal af den rette linje - vinkelret faldet fra origo til den rette linje. Hvis så linjen går gennem origo, og valget af den positive retning er vilkårligt. $p>0.$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $C=0,$

Ligning for en ret linje, der går gennem to givne ikke-sammenfaldende punkter

Hvis to ikke-sammenfaldende punkter med koordinater og er givet, så er den rette linje, der går gennem dem, givet af ligningen $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0

eller

{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

eller generelt

\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{ 1}\right)=0.

Parametrisk vektorligning for en ret linje

Den vektorparametriske ligning for en ret linje er givet af en vektor, hvis ende ligger på den rette linje, og af den rette linjes retningsvektor Parameteren løber gennem alle reelle værdier. ${\vec {r}}_{0},$ ${\vec {u}}.$ $t$

{\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.

Parametriske ligninger for en ret linje

De parametriske ligninger for en ret linje kan skrives som:

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases))

hvor er en vilkårlig parameter, er den rette linjes koordinater og retningsvektor. Hvori $t$ $a_{x},\;a_{y}$ $x$ $y$

k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y} )),\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},

p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} )),\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2))))},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.

Betydningen af parameteren svarer til parameteren i den vektor-parametriske ligning. $t$

Kanonisk ligning for en ret linje

Den kanoniske ligning fås fra parametriske ligninger ved at dividere en ligning med en anden:

Konklusion

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{cases))

{\begin{cases}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{cases))

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}} {a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}

hvor er koordinaterne for både linjens retningsvektor og koordinaterne for et punkt, der hører til linjen. $a_{x},a_{y}$ $x$ $y$ $x_{0}$ $y_0$

Ligning for en ret linje i polære koordinater

Ligning for en ret linje i polære koordinater og : $\rho$ $\varphi$

\rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0

eller

\rho \cos(\varphi -\theta )=s.

Tangentialligningen for en ret linje

Tangentialligningen for en ret linje på en plan:

\xi x+\eta y=1.

Tal og kaldes dets tangentielle , lineære eller Plücker - koordinater . $\xi$ $\eta$

Ligninger for en ret linje i rummet

Parametrisk vektorligning for en ret linje i rummet:

{\vec r}={\vec {r}}_{0}+t{\vec a},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),

hvor er radiusvektoren for et eller andet fast punkt, der ligger på linjen, er en vektor , der ikke er nul , kolineær til denne linje (kaldet dens retningsvektor), er radiusvektoren for et vilkårligt punkt på linjen. ${\vec {r}}_{0}$ $M_{0},$ $\vec a$ ${\vec {r))$

Parametriske ligninger for en ret linje i rummet:

x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+ \infty ),

hvor er koordinaterne for et eller andet fast punkt, der ligger på linjen; er koordinaterne for vektoren kollineært til denne linje. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$

Den kanoniske ligning for en ret linje i rummet:

{\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }} ,

Generel vektorligning for en ret linje[ klargør ] i rummet:

Da en ret linje er skæringspunktet mellem to forskellige planer , givet henholdsvis ved de generelle ligninger :

({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0

({\vec r},\;{\vec N}_{2})+D_{2}=0,

så kan ligningen for en ret linje gives ved et system af disse ligninger:

{\begin{cases}({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec r},\;{\vec N}_{1}) {2})+D_{2}=0.\end{cases}}

Vektorligning for en ret linje i rummet [6] :196-199 :

Ligningen for en ret linje i rummet kan skrives som et vektorprodukt af radius-vektoren af et vilkårligt punkt på denne rette linje og en fast retningsvektor af den rette linje :

{\vec {r))

\vec a

[{\vec r},{\vec a}]={\vec M},

hvor den faste vektor , ortogonal til vektoren , kan findes ved at substituere radiusvektoren for et hvilket som helst kendt punkt på linjen i denne ligning. $\vec M$ $\vec a$

Indbyrdes arrangement af punkter og linjer på flyet

Tre punkter , og ligge på samme linje, hvis og kun hvis betingelsen $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$ $(x_{3},\;y_{3})$

{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.

Afvigelsen af et punkt fra en ret linje kan findes ved formlen $(x_1,\;y_1)$ $Axe+By+C=0$

\delta ={\frac {Ax_{1}+Af_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},

hvor tegnet før radikalen er modsat tegnet Modulo afvigelse er lig med afstanden mellem punktet og linjen ; det er positivt, hvis punktet og origo ligger på modsatte sider af linjen, og negativt, hvis de er på samme side. $C.$

I rummet er afstanden fra et punkt til en ret linje givet ved en parametrisk ligning $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$

{\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb{R} \\z=z_{0}+t \gamma ,\end{cases}}

kan findes som minimumsafstanden fra et givet punkt til et vilkårligt punkt på en ret linje. Koefficienten for dette punkt kan findes ved formlen $t$

t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0} )}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.

Indbyrdes arrangement af flere lige linjer på et plan

To rette linjer givet ved ligninger

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0

eller

y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}

skærer hinanden i et punkt

x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_ {1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_ {1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1 }}}.

Vinklen mellem skærende linjer er givet ved $\gamma _{{12}}$

{\mathrm {tg}}\,\gamma _{{12}}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+ B_{1}B_{2))}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.

I dette tilfælde refererer udtrykket til den vinkel, med hvilken den første rette linje (specificeret ved parametrene , , , og ) skal drejes mod uret rundt om skæringspunktet, indtil den først falder sammen med den anden rette linje. $\gamma _{{12}}$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $k_{1}$ $b_{1}$

Disse linjer er parallelle hvis eller , og vinkelrette hvis eller . $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ $k_{1}=k_{2}$ $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ $k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}$

Enhver linje parallel med linjen med ligningen kan udtrykkes ved ligningen.I dette tilfælde vil afstanden mellem disse linjer være lig med $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$ $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$

\delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2));

Hvis ligningen for en ret linje er givet som , og ligningen for en ret linje er parallel med den , så kan afstanden beregnes som $y_1=kx_1+b_1$ $y=kx+b$

\delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.

Hvis tegnet før radikalen er modsat, så vil det være positivt, når den anden linje og oprindelsen ligger på hver sin side af den første linje. $C_{1},$ $\delta$

At lave tre lige

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{ 3}y+C_{3}=0

skærer hinanden i et punkt eller er parallelle med hinanden, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at betingelsen

{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix }}=0.

Hvis og , Så er linjerne og vinkelret på . $A_{2}=-B_{1}$ $B_{2}=A_{1}$ $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$

Nogle specielle typer linjer

Noter

↑ Coxeter, 1969 , s. fire
↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 721-722.
↑ Proclus Diadochus. Kommentar til den første bog af Euklids "Begyndelser" / Dmitry Pozharsky University. - M. , 2013. - S. 116. - 368 s.
↑ Norden A.P. Et kort kursus i differentialgeometri. - M. : Fizmatgiz, 1958. - S. 214-215. — 244 s.
↑ Faber, tillæg B, s. 300.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i eksempler og opgaver . - M . : Højere skole , 1985. - 232 s.

Litteratur

Markushevich AI Bemærkelsesværdige kurver , populære forelæsninger om matematik . - Udgave 4. - Gostekhizdat , 1952 - 32 sider.
Direkte // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4.
Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry (2. udgave), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry , New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Links

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4156780-8

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe

Keglesnit
Hovedtyper	Ellipse Hyperbel Parabel
Degenereret	Prik Lige Par lige linjer
Et særligt tilfælde af en ellipse	Cirkel
Geometrisk konstruktion	keglesnit Mælkebær-bolde Steiners design
se også	Konisk konstant
Matematik • Geometri