Basis

Basis ( andre græsk βάσις "basis") er et ordnet (endeligt eller uendeligt) sæt af vektorer i et vektorrum , således at enhver vektor i dette rum kan repræsenteres entydigt som en lineær kombination af vektorer fra dette sæt. Basisvektorer kaldes basisvektorer .

I det tilfælde, hvor grundlaget er uendeligt, skal begrebet "lineær kombination" afklares. Dette fører til to hovedtyper af definition:

Hamel basis , i hvis definition kun finite lineære kombinationer betragtes; primært brugt i abstrakt algebra.
Schauders grundlag , i definitionen af hvilke uendelige lineære kombinationer også betragtes, nemlig ekspansion til serier ; anvendes hovedsageligt i funktionsanalyse, især for Hilbert-rum .

I finit-dimensionelle rum falder begge definitioner af en basis sammen.

Oprindelse af udtrykket

For Euklid og andre antikke græske matematikere betegnede ordet "basis" (βάσις, der betyder base ) den vandrette base af en flad eller rumlig figur. Den moderne matematiske betydning af dette udtryk blev givet af Dedekind i en artikel fra 1885 .

Basis på planet og i tredimensionelt rum

Ethvert kartesisk koordinatsystem på et plan eller i et tredimensionelt rum (også i et rum af en anden dimension) kan associeres med en basis bestående af vektorer, som hver er rettet langs sin egen koordinatakse. Dette gælder både for rektangulære kartesiske koordinater (så kaldes det tilsvarende grundlag ortogonale ) og for skrå kartesiske koordinater (som et ikke-ortogonalt grundlag vil svare til).

Det er ofte praktisk at vælge længden ( norm ) af hver af basisvektorerne, der skal være enhed, en sådan basis kaldes normaliseret.

Oftest vælges grundlaget ortogonalt og normaliseret på samme tid, så kaldes det ortonormalt .

I ethvert vektorrum kan grundlaget vælges på forskellige måder (for eksempel ved at ændre retningerne af dets vektorer eller deres længder).

Notation

Udpegningen af basisvektorer kan i princippet være vilkårlig. Ofte bruger de et bogstav med et indeks (numerisk eller sammenfaldende med navnet på koordinataksen), for eksempel:

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2}

eller

{\vec e}_{x},{\vec e}_{y}

er typiske betegnelser for grundlaget for et todimensionelt rum (plan),

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2},{\vec e}_{3}

eller

\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

- tredimensionelt rum. For tredimensionelt rum bruges notationen ofte traditionelt

{\vec i},{\vec j},{\vec k}.

Repræsentation af en specifik (en hvilken som helst) rumvektor som en lineær kombination af basisvektorer (summen af basisvektorer ved numeriske koefficienter), f.eks. $\vec a$

{\vec a}=a_{x}{\vec e}_{x}+a_{y}{\vec e}_{y}+a_{z}{\vec e}_{z}

eller

{\vec a}=a_{1}{\vec e}_{1}+a_{2}{\vec e}_{2}+a_{3}{\vec e}_{3}

eller ved at bruge sumtegnet : $\Sigma$

{\vec a}=\sum _{{i=1}}^{3}a_{i}{\vec e}_{i}

kaldes denne vektors ekspansion på dette grundlag.

Numeriske koefficienter kaldes ekspansionskoefficienter, og deres sæt som helhed er en repræsentation (eller repræsentativ) af en vektor i basis (Ekspansionen af en vektor i en specifik basis er unik; ekspansionen af den samme vektor i forskellige baser er forskellig , det vil sige, at der opnås et andet sæt af specifikke tal, dog i resultatet når det summeres - som vist ovenfor - giver samme vektor). $(a_{x},a_{y},a_{z})$ $\vec a$ ${\vec e}_{x},{\vec e}_{y},{\vec e}_{z}.$

Typer af baser

Hamels grundlag

Hamel-grundlaget er et sæt vektorer i et lineært rum , således at enhver rumvektor kan repræsenteres som en endelig lineær kombination af dem ( grundlagets fuldstændighed ), og en sådan repræsentation er unik for enhver vektor.

Kriteriet for entydigheden af løsningen på problemet med at udvide en vektor i et komplet system af vektorer er den lineære uafhængighed af vektorerne, der er inkluderet i det komplette system. Lineær uafhængighed betyder, at enhver lineær kombination af systemvektorer, hvor mindst en koefficient er ikke-nul, har en ikke-nul sum. Det vil sige, at det svarer til det unikke ved dekomponeringen af nulvektoren.

I tilfælde af lineære rum, når hver ikke-nul koefficient er inverterbar, er lineær uafhængighed ækvivalent med umuligheden af at udtrykke en vektor af det komplette system ved en lineær kombination af andre vektorer. (I en mere generel situation - moduler over ringe - er disse to egenskaber ikke ækvivalente). Umuligheden af at udtrykke en basisvektor i form af resten betyder, at grundlaget er minimalt som et komplet system af vektorer - når man fjerner nogen af dem, går fuldstændigheden tabt.

I spørgsmålet om eksistensen af baser er det vigtigste følgende lemma (beviset for dette lemma er generelt ikke-konstruktivt og bruger valgaksiomet ):

Lemma. Lade være et komplet og et lineært uafhængigt system af vektorer. Så indeholder systemet et sæt vektorer, der komplementerer rummet til en basis . $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $V$

Bevis

Beviset er baseret på anvendelsen af Zorns lemma. Overvej . Lade være mængden af alle lineært uafhængige delmængder af . Dette sæt er delvist bestilt med hensyn til inklusion. ${\displaystyle S=S_{1}\kop S_{2))$ $L$ $S$

Lad os bevise, at foreningen af enhver kæde af lineært uafhængige mængder forbliver lineært uafhængig. Faktisk, lad os tage vektorerne fra foreningen og tage mængderne fra kæden, som disse vektorer tilhører: . Da disse sæt er elementer i kæden, vil deres forening give det maksimale af dem, hvilket er lineært uafhængigt, og derfor er vektorerne, der ligger i dette sæt, også lineært uafhængige. ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$ ${\displaystyle a_{1}\i A_{1},\ldots ,a_{n}\i A_{n))$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$

Foreningen af kædesættene er lineært uafhængig og er derfor indeholdt i sættet . Lad os på det anvende en styrket formulering af Zorns lemma , som siger, at for hvert element af er der et maksimumelement større end eller lig med det. , hvilket betyder, at der er et maksimalt element sådan, at . Det er let at se, at der er et grundlag. Faktisk, hvis der ikke var et komplet system af vektorer, ville der være en vektor , der ikke kan repræsenteres som en lineær kombination af vektorer fra . Så er et lineært uafhængigt system, hvilket betyder, at , som modsiger det faktum, at er det maksimale element af . $L$ $L$ $S_{2}\in L$ $B\in L$ $S_{2}\subset B$ $B$ $B$ $a\in S_{1}$ $B$ $B\cup \{a\}$ $B\cup \{a\}\i L$ $B$ $L$

Konsekvenserne af dette lemma er udsagnene:

Ethvert lineært rum har en basis.
En rumbasis kan udtrækkes fra et hvilket som helst komplet system af vektorer.
Ethvert lineært uafhængigt system kan færdiggøres på basis af rummet V.

Enhver to baser i et lineært rum er af samme styrke, så kardinaliteten af en basis er en størrelse uafhængig af valget af basisvektorer. Det kaldes rummets dimension (benævnt med ). Hvis et lineært rum har en endelig basis, er dets dimension endelig, og det kaldes endeligt -dimensionelt , ellers er dets dimension uendeligt, og rummet kaldes uendeligt-dimensionelt. $\dim V$

Det valgte grundlag for det lineære rum giver os mulighed for at introducere koordinatrepræsentationen af vektorer, som forbereder brugen af analytiske metoder.

En lineær afbildning fra et lineært rum til et andet er entydigt defineret, hvis det er defineret på vektorer af en eller anden basis. Kombinationen af denne kendsgerning med muligheden for en koordinatrepræsentation af vektorer forudbestemmer brugen af matricer til at studere lineære afbildninger af vektorrum (primært endelige dimensionelle). Samtidig får mange fakta fra teorien om matricer en visuel repræsentation og får en meget meningsfuld betydning, når de udtrykkes i lineære rums sprog. Og valget af grundlaget i dette tilfælde tjener som et hjælpemiddel, men samtidig et nøgleværktøj.

Eksempler

Rumvektorer danner et grundlag, hvis og kun hvis determinanten af matricen, der er sammensat af disse vektorers koordinatsøjler, ikke er lig med 0: . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0$
I rummet af alle polynomier over et felt består en af baserne af potensfunktioner: . $1,x,x^{2},\dots,x^{n},\dots$
Begrebet en basis bruges i det uendelige-dimensionelle tilfælde, for eksempel danner de reelle tal et lineært rum over rationelle tal, og det har en kontinuerlig Hamel-basis og følgelig en kontinuerlig dimension.

Hamels basis og diskontinuerlige lineære funktion

Hamel-grundlaget kan bruges til at konstruere en diskontinuerlig reel funktion, der opfylder betingelsen . Lad være Hamel-grundlaget for mængden af reelle tal over feltet af rationelle tal . Så for hver ( ) vi sætter , hvor er vilkårlige reelle tal, for eksempel rationelle (i dette tilfælde tager funktionen kun rationelle værdier og er derfor garanteret ikke en lineær funktion af ). En sådan funktion er additiv, det vil sige, at den opfylder den funktionelle Cauchy-ligning . Men i det generelle tilfælde, når , adskiller den sig fra en lineær funktion og derfor er diskontinuerlig på et hvilket som helst punkt, og bevarer heller ikke tegn, er ikke afgrænset over eller under, er ikke monotonisk , er ikke integrerbar og er ikke målbar på ethvert vilkårligt lille interval, fylder med sine værdier på dette interval overalt tæt den numeriske akse . $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f(x)=(c\cdot x)$ $f(x)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $f(x)=c\cdot x$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Schauders grundlag

Et system af vektorer i et topologisk vektorrum kaldes en Schauder-basis (til ære for Schauder ), hvis hvert element nedbrydes til en enkelt serie, der konvergerer til i : $\{e_{n}\}$ $L$ $f\in L$ $f$ $\{e_{n}\}$

f=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}f_{i}e_{i},

hvor er tal kaldet koefficienterne for vektorens ekspansion i form af basis . $f_{i}$ $f$ $\{e_{n}\}$

For at understrege forskellen mellem definitionen af Hamel-grundlaget for generelle lineære rum (kun endelige summer er tilladt) og Schauder-grundlaget for topologiske vektorrum (udvidelsen til en konvergent række er tilladt), bruges udtrykket lineært grundlag ofte for tidligere , hvilket efterlader termen grundlag for serieudvidelser . Styrken af en lineær basis kaldes også lineær dimension . I finit-dimensionelle rum falder disse definitioner sammen, fordi grundlaget er endeligt. I uendelig-dimensionelle rum adskiller disse definitioner sig væsentligt, og den lineære dimension kan være strengt større end kardinaliteten af Schauder-grundlaget.

For eksempel har intet uendeligt -dimensionelt Hilbert-rum et tælleligt lineært grundlag, selvom det kan have tællelige serieekspansions-Schauder-baser, inklusive ortonormale baser . Alle ortonormale baser af Hilbert-rum er Schauder-baser, for eksempel er sættet af funktioner en Schauder-basis i . I mere generelle Banach-rum er forestillingen om en ortonormal basis ikke anvendelig, men det er ofte muligt at konstruere Schauder-baser, der ikke bruger ortogonalitet. $\{1,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\cos(2\ pi nx)\midt n=1,2,\dots \}$ $L^{2}[0,1]$

Eksempel: Schauder-grundlaget for rummet af kontinuerte funktioner C [ a, b ]

$C[a,b]$ er et Banach rum med norm . For udvidelser til Fourier-serier og generaliserede Fourier-serier i ortonormale funktionssystemer er konvergens i Hilbert-rum let bevist , men ikke i . Schauder konstruerede Schauder-grundlaget for . Lade være et tæt tælleligt sæt af punkter på , , , De resterende punkter kan for eksempel være alle rationelle punkter i segmentet , ordnet vilkårligt. Lad os antage, at , er en lineær funktion. Lad os definere en stykkevis lineær funktion , så for og . Punkterne er opdelt i segmenter. Pointen ligger strengt taget inde i en af dem. Lad dette være for nogle (nummerrækkefølgen af tallene svarer ikke til deres størrelse). $\|f\|=\max _{{x\in [a,b]}}|f(x)|$ $L^{2}[a,b]$ $C[a,b]$ $\{e_{n}\}$ $C[a,b]$ $\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\dots \}$ $[a,b]$ $x_{0}=a$ $x_{1}=b$ $[a,b]$ $e_{0}=1$ $e_{1}=(xa)/(ba)$ $e_{n}(x)$ $e_{n}(x_{i})=0$ $i=0,1,\dots ,n-1$ $e_{n}(x_{n})=1$ $x_{0},x_{1},x_{2},\dots,x_{{n-1}}$ $[a,b]$ $n-1$ $x_{n}$ $I_{n}=[x_{j},x_{k}]$ $j,k\in \{0,\dots ,n-1\}$ $x_{0},x_{1},x_{2},\dots$

Lad os sætte:

e_{n}(x)=0

uden for segmentet

I_{n}=[x_{j},x_{k}],

e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}

på

x\in [x_{j},x_{n}],

e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}

på

x\in[x_{n},x_{k}].

Det resulterende system af stykkevis lineære "hatte" er den nødvendige Schauder-basis. Udvidelseskoefficienterne for en vilkårlig funktion på dette grundlag er udtrykt ved eksplicitte rekursive formler i form af en række værdier . Delsummen af de første led i serien $f(x)\i C[a,b]$ $f(x_{i})$ $n+1$

L_{n}(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),

er i dette tilfælde en stykkevis lineær tilnærmelse med noder i punkterne ; formel for koefficienter (se fig.) $f(x)$ $x_{0},x_{1},x_{2},\dots,x_{{n}}$ $f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)$

Grundproblemet

Schauder-baser er blevet konstrueret for de fleste af de kendte eksempler på Banach-rum, men Banach-Schauder-problemet med eksistensen af et Schauder-grundlag i ethvert adskilleligt Banach-rum egnede sig ikke til løsning i mere end 50 år og blev kun løst negativt i 1972: der eksisterer adskillelige Banach-rum uden Schauder-grundlag (Enflo modeksempler [1] , Shankovsky, Davy og Figel).

Anvendelser i krystallografi

I vektoralgebra , ved hjælp af et vektorprodukt og et blandet produkt , defineres konceptet om en gensidig basis til en basis i det tredimensionelle euklidiske rum og bruges til at bevise nogle udsagn relateret til det blandede produkt og vinkler mellem vektorer [2 ] :212-214 . I krystallografi kaldes det gensidige grundlag den krystallografiske definition af grundlaget , ud fra hvilket det gensidige gitter bestemmes .

Se også

Reper er et nært beslægtet begreb.
En ortogonal basis er en særlig klasse af baser (Schauder-baser) til rum med indre produkt ( Hilbert-rum ).
Gröbner grundlag
Riesz basis
et endeligt dimensionelt rum
Flag (matematik)

Noter

↑ Per Enflo. Et modeksempel på tilnærmelsesproblemet i Banach-rum (engelsk) // Acta Math .. - 1973. - Vol. 130 (1973) . - S. 309-317 . - doi : 10.1007/BF02392270 .
oversættelse: Per Enflo. A counterexample to the approximation problem in Banach spaces = A counterexample to the approximation problem in Banach spaces // Mathematics / transl. B.S. Mityagin. - 1974. - T. 18 , no. 1 . — S. 146–155 .
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i eksempler og opgaver . - M . : Højere skole , 1985. - 232 s.

Litteratur

Kutateladze S. S., Fundamentals of funktionel analyse . - 4. udg., rettet. - Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics SB RAS, 2001. - XII + 354 s.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet