Plücker koordinater

Plücker-koordinater er koordinater (sæt af tal), der definerer underrum (af vilkårlig dimension) af en vektor eller et projektivt rum . De er en generalisering af de homogene koordinater af punkter i det projektive rum og er også defineret op til multiplikation med en vilkårlig ikke-nul faktor. Først introduceret af Plücker i det særlige tilfælde af projektive linjer i tredimensionelt projektivt rum, hvilket også svarer til tilfældet for vektorrum. $M$ $L$ $\dim M=2$ $\dim L=4$

Definition i koordinater

Lad være -dimensionelle underrum af -dimensionelle vektorrum . For at bestemme underrummets Plücker-koordinater vælger vi et vilkårligt grundlag i og et vilkårligt grundlag i . Hver vektor har koordinater i basis , dvs. Ved at skrive vektorernes koordinater som strenge får vi matrixen $M$ $m$ $n$ $L$ $M$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $L$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ $M$ $a_{i}$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $(a_{i1},\;\ldots ,\;a_{i})$ ${\displaystyle a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{i}e_{n))$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},

hvis rang er . Angiv med minor i matrixen bestående af kolonner med tal, der tager værdier fra til . Tallene er ikke uafhængige: hvis sættet af indekser er opnået fra ved en permutation , så finder lighed sted , hvor plus- eller minustegnet svarer til om permutationen er lige eller ulige. Betragtet op til multiplikation med en fælles ikke-nul-faktor kaldes mængden af tal for alle ordnede sæt af indekser , der tager værdier fra til , underrummets Plücker-koordinater . $m$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $EN$ ${\displaystyle i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $en$ $n$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $(i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})$ ${\displaystyle \sigma \in S_{m))$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}$ $\sigma$ ${\displaystyle C_{n}^{m))$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $en$ $n$ $M$

Egenskaber

1. Uafhængighed af valget af grundlag .

Hvis der vælges et andet grundlag i underrummet , så vil det nye sæt Plücker-koordinater se ud som , hvor er en anden faktor, der ikke er nul. Faktisk er det nye grundlag relateret til de gamle relationer , og determinanten af matricen er ikke-nul. Ifølge definitionen af Plücker-koordinater og sætningen om determinanten af produktet af matricer har vi , hvor . $M$ ${\displaystyle a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c$ ${\displaystyle a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m))$ $(a'_{ij})$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c=\det(a'_{ij})$

2. Græsmand .

Ved at tildele hvert dimensionsunderrum et sæt af dets Plücker-koordinater , tilknytter vi et eller andet punkt af dimensionens projektive rum . Kortet konstrueret på denne måde er injektivt , men ikke surjektivt (det vil sige, dets billede falder ikke sammen med hele rummet ). Billedet af sættet af alle- dimensionelle underrum af det dimensionelle rum under kortlægning er en -dimensionel projektiv algebraisk variation i , kaldet Grassmann-varianten eller Grassmannian og betegnet med eller . $m$ $M$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $M$ $P$ $C_{n}^{m}-1$ $g$ $P$ $m$ $n$ $g$ $m(nm)$ $P$ $G(m,\;n)$ $\mathrm {Gr} _{m}(L)$

3. Plücker relationer .

Kriteriet, hvorved man kan afgøre, om et givet punkt i et projektivt rum tilhører en Grassmannian , er de såkaldte Plücker-relationer : $P$ $G(m,\;n)$

\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r)) \cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r))},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \, (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),

hvor alle indekser i sættene og tager værdier fra til , betegner tegnet udeladelsen af indekset under det. Denne sum opnås, hvis et indeks fjernes fra sættet et ad gangen, og dette indeks tildeles til højre for sættet , så ganges de to resulterende tal (bemærk, at disse tal er mindre af matricen , men ikke nødvendigvis er Plücker-koordinater, da sættene af deres indekser ikke nødvendigvis er sorteret stigende), og derefter tages summen af alle sådanne produkter med skiftende fortegn. Plücker-relationerne gælder for hvert dimensionelt underrum af . Og omvendt, hvis de homogene koordinater , , af et eller andet punkt i det projektive rum opfylder disse relationer, så svarer dette punkt, når det er kortlagt , til et underrum af , det vil sige, det tilhører . $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $en$ $n$ ${\breve {))$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m))=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m))$ $EN$ $m$ $M\subset L$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $P$ $g$ $M\subset L$ $G(m,\;n)$

På matrixsproget betyder det: hvis tallene opfylder Plücker-relationerne, så er der en matrix, for hvilken de er mindreårige af maksimal orden, og hvis ikke, så er der ingen sådan matrix. Det løser problemet med muligheden for at genoprette en matrix fra dens mindreårige af maksimal orden, op til en lineær transformation af rækker. $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$

Eksempel

I tilfældet og har vi , og derfor har hvert plan i det 4-dimensionelle vektorrum Plücker-koordinater: , , , , , . Ved at vælge et grundlag i planet på en sådan måde, at og , vi får matricen $n=4$ $m=2$ $C_{4}^{2}=6$ $M$ $6$ $p_{12}$ $p_{13}$ ${\displaystyle p_{14))$ $p_{23}$ $p_{24}$ ${\displaystyle p_{34))$ $M$ ${\displaystyle a_{1},\;a_{2))$ $a_{1}=e_{1}$ $a_{2}=e_{2}$

A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix)),

hvorfra vi finder:

p_{12}=1

, , , , . _

p_{13}=\gamma

p_{14}=\delta

p_{23}=-\alpha

p_{24}=-\beta

p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma

Det er klart, at der er en sammenhæng

p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0

som bevares, når alle ganges med en fælles faktor, det vil sige, at det ikke afhænger af valget af grundlaget. Dette er Plücker-relationen, som definerer en projektiv kvadrik i et 5-dimensionelt projektivt rum. $p_{i_{1}i_{2))$ $G(2,\;4)$

Litteratur

Kartan E. Eksterne differentialsystemer og deres geometriske problemer. - M . : MSU forlag, 1962.
Zelikin MI Homogene rum og Riccati-ligningen i variationsregningen. - M. : Faktoriel, 1998.
Hodge V., Pido D. Metoder til algebraisk geometri. - T. 1. - M. : IL, 1954. (Her kaldes Plücker-koordinater for Grassmann-koordinater).
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M .: Fizmatlit, 2009.
Casas-Alvero E. Analytisk projektiv geometri. - : European Mathematical Society, 2014.