Direkte Alexandrova

Alexandrovs linje (eller lang linje ) er et topologisk rum , et af de vigtigste modeksempler brugt i topologi [1] : en almindelig reel linje består af et tælleligt antal segmenter placeret efter hinanden, og Alexandrov-linjen er bygget ud fra en utallige antal af sådanne segmenter. Bygget af Pavel Alexandrov i 1924 [2] .

Den lukkede Alexandrov-linje er defineret som det kartesiske produkt af den første utallige ordinal og halv-intervallet , udstyret med ordenstopologien (det vil sige dens base er intervallerne ) induceret af den leksikografiske rækkefølge på . En åben linje opnås ved at fjerne det mindste element .

Alexandrov-linjen svarer i kraft til den virkelige linje og er et normalt rum , ligesom ethvert rum med ordenstopologien, men det har en række usædvanlige egenskaber. Især dens topologi er ikke-metriserbar , den er sekventielt kompakt , men ikke kompakt, sti-forbundet , lokalt forbundet og simpelthen forbundet , men ikke sammentrækbar . Desuden har Aleksandrov-linjen strukturen som en uadskillelig topologisk manifold [3] , på trods af at den er ikke -parakompakt , og den opfylder det første tællelighedsaksiom , men ikke det andet . På den kan man også introducere strukturen af ​​en differentierbar [4] og endda analytisk [5] manifold.

Noter

  1. ↑ Steen, Lynn Arthur. Modeksempler i topologi / Lynn Arthur Steen, J. Arthur Jr. Seebach. - Dover genoptryk af 1978. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - S. 71–72. - ISBN 978-0-486-68735-3 .
  2. ↑ P. Alexandroff. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume // Math. Ann. - 1924. - T. 92 . - S. 295-301 . - doi : 10.1007/BF01448011 .
  3. ↑ Nogle forfattere kræver, at basen kan adskilles og tælles i definitionen af ​​en topologisk mangfoldighed, se Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology , CRC Press, s. 122, ISBN 9781439831632 , < https://books.google.com/books?id=-BrOBQAAQBAJ&pg=PA122 >  .
  4. ↑ Nyikos, Peter J. (1992). "Forskellige udjævninger af den lange linje og deres tangentbundter". Fremskridt i matematik . 93 : 129-213. DOI : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . MR  1164707 .
  5. ↑ Kneser, Hellmuth; Kneser, Martin (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archive der Mathematik . 11 :104-106. DOI : 10.1007/BF01236917 .