Lineær ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. november 2021; checks kræver 5 redigeringer .

En lineær ligning er en algebraisk ligning, hvis samlede grad af dens konstituerende polynomier er 1. En lineær ligning kan repræsenteres som:

i generel form: ; $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0$
i kanonisk form: , $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=-b$

hvor er variable (eller ukendte) størrelser (også kendt som rødder af en lineær ligning), og er konstanter eller koefficienter, som er reelle tal . Koefficienter kan kvalificeres som parametre i en ligning og kan være et hvilket som helst udtryk, så længe de ikke selv indeholder variable. For at ligningen skal give mening, må koefficienterne ikke være nul. En lineær ligning kan også opnås ved at ligne et lineært polynomium med nul over et felt, hvorfra koefficienterne er taget for polynomiet. $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$

At løse en ligning er at finde sådanne værdier af variabler, der, når de erstattes, ville give den korrekte lighed. Hvis der kun er én variabel, er der kun én løsning til den lineære ligning (forudsat at ). Ofte kaldes lignende ligninger med én "ukendt" "lineære ligninger". Hvis der er to variable, så kan enhver løsning illustreres og verificeres ved hjælp af et rektangulært koordinatsystem i todimensionelt (euklidisk) rum . Løsningen af en lineær ligning er afbildet som en lodret linje i et rektangulært koordinatsystem for denne ligning, men den samme linje kan være en illustration af løsningen af en anden ligning. Hver linje kan betragtes som mængden af alle løsninger af en lineær ligning i to variable, hvorfor sådanne ligninger kaldes lineære. Generelt udgør mængden af løsninger til en lineær ligning med n variable et hyperplan (et underrum af dimension n-1 ) i et euklidisk rum med dimension n . $a_1\ne0$

Lineære ligninger bruges i absolut alle områder af matematikken og deres anvendelser inden for fysik og teknik, delvist fordi ikke-lineære systemer ofte kan "tilnærmes" og forenkles ved lineære ligninger. Et sæt i form af to eller flere lineære ligninger, for hvilke der skal findes en specifik løsning, er et system af lineære algebraiske ligninger .

Enkelt variabel ligning

Matematisk beskrivelse

Ligningen har formen: dens løsning reduceres til formen: i det generelle tilfælde, når a ≠ 0 . I dette tilfælde kaldes variablen x "ukendt" . Hvis a = 0 , så er to muligheder mulige. Hvis b også er lig med nul, er der uendeligt mange løsninger, da ethvert tal er en løsning. Men hvis b ≠ 0 , så kan ligningen ikke have rødder, fordi . I sidstnævnte tilfælde er en sådan ligning inkonsekvent $ax+b=0,$ $x=-{\frac {b}{a}}$ $\ikke \eksisterer x\i {\mathbb R}:0\cdot x=-b\neq 0$ (dvs. du kan ikke vælge en variabel for at gøre ligheden sand) [1] .

Løsningseksempler

En lineær ligning er givet som resultatet af at gange to tal; en af faktorerne er kendt, den anden er ukendt, men resultatet er kendt.

3\cdot x=24

I dette tilfælde, for at finde den ukendte faktor , skal resultatet af multiplikation 24 divideres med den kendte faktor 3 . Resultatet af divisionsoperationen vil være 8 som roden til denne ligning. $x$

x={\frac {24}{3}}=8

En lineær ligning af typen

0\cdot x=7,

har ingen løsning, da resultatet af at gange et hvilket som helst tal med 0 altid giver 0. Samtidig er en ligning af formen

0\cdot x=0

har uendeligt mange løsninger. Derfor kan det for ham være et hvilket som helst tal. $x$

Ligning med to variable

Beskrivelse i generelle og kanoniske former

Hvis der er to variable i ligningen, kan den lineære ligning repræsenteres i den generelle form: , hvor variablerne er x og y , og koefficienterne er a , b og c . På kanonisk form har denne ligning formen for A = a , B = b og C = – c [2] . $ax+by+c=0$ $Ax+By=C,$

Løsningen eller rødderne til en sådan ligning kaldes sådan et par værdier af variable , som gør det til en identitet . En lineær ligning med to variable har et uendeligt antal af sådanne løsninger (rødder) . $(x;y)$

Der er andre former for en lineær ligning, som den kan reduceres til ved hjælp af simple algebraiske transformationer (at tilføje den samme værdi til ligningen, gange eller dividere med det samme tal, der ikke er lig med nul, osv.)

Eksempel

Givet en lineær ligning:

3\cdot x+4\cdot y=12

For at bestemme mængden af alle løsninger kan du transformere ligningen til en funktion afhængig af . I så fald vil det $y$ $t$

x=t

og kl

y=(12-3\cdot t)/4

t\in \mathbb {R}

Sådan vises grafen for denne funktion, inklusive alle par x og y , hvilket gør ligningen til den korrekte lighed:

f(x)=(12-3\cdot x)/4=-(3/4)\cdot x+3

Lineær funktion

Hvis b ≠ 0 , så kan ligningen reduceres til en sådan form, at værdien af y afhænger af x . Ligningen kan derefter repræsenteres i form af en lineær funktion , hvor (eller umiddelbart ). Grafen for funktionen i dette tilfælde (det vil sige en geometrisk model eller illustration til denne ligning) er en ret linje af typen , hvor k er hældningen (aka ), og m = er koordinaten for skæringspunktet for graf med y -aksen . $ax+by+c=0$ $y=kx+m$ $k=-{\frac {a}{b));\ m=-{\frac {c}{b}}$ $y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.$ $y=kx+m$ $-{\frac {a}{b))$ $-{\frac {c}{b))$

I matematisk analyse er lineære funktioner de funktioner, hvis graf er nøjagtig lige. I lineær algebra er en lineær funktion en funktion, der viser summen af summen af billeder af led. I lineær algebra er en funktion således lineær, hvis c = 0 og dens graf går gennem origo. For at undgå forvirring kaldes funktioner, hvis grafer er vilkårlige linjer, affine.

Geometrisk sans

Ethvert par ( x , y ) , der er en løsning på ligningen , kan reflekteres i et rektangulært koordinatsystem som et punkt i todimensionelt rum. I dette tilfælde danner alle løsninger til ligningen en linje, forudsat at a og b er ikke-nul. Det omvendte er også sandt, at hver linje er et sæt løsninger til en lineær ligning. Selve sætningen "lineær ligning" har sine rødder i forholdet mellem rette linjer og ligninger: en lineær ligning med to variable er en ligning, hvis løsninger alle er grafisk repræsenteret af en linje. $ax+by+c=0$

I tilfældet b ≠ 0 , er linjen x - funktionsgrafen beskrevet ovenfor. Hvis b = 0 , så vil linjen være lodret, parallel med y - aksen, for en ligning , der ikke er en graf for x -funktionen . Følgelig, hvis a ≠ 0 , så er linjen en graf for funktionen y , og hvis a \u003d 0 , så en vandret linje parallel med x-aksen for ligningen $x=-{\frac {c}{a)),$ $y=-{\frac {c}{b)).$

En ligning med tre eller flere variabler

En lineær ligning indeholdende mere end to variable kan være af formen . Koefficienten b , nogle gange omtalt som a 0 , er et frit led . Koefficienter kan i dette tilfælde kaldes alle variable af typen a i forudsat i > 0 . I ligninger med tre ubekendte er sidstnævnte betegnet med bogstaverne og . $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.$ $x,\;y$ $z$

Løsningen af en sådan ligning er sådan en n -tupel, udskiftningen af hvert element, hvori med den tilsvarende variabel ville transformere ligningen til en sand lighed. For at ligningen skal give mening, skal mindst én koefficient af variablen være ikke-nul. Hvis alle variablernes koefficienter er lig med nul, så vil ligningen enten være inkonsistent (for b ≠ 0 ), da den ikke har nogen løsninger, eller også vil en hvilken som helst n -tupel være en løsning på denne ligning. Alle n -tupler, der er en løsning på en lineær ligning med n variable , er koordinaterne for punkter i koordinatsystemet for det ( n − 1) -dimensionelle hyperplan i n -dimensionelt euklidisk rum (eller affint rum, hvis koefficienterne er komplekse tal eller tilhører et hvilket som helst felt). I tilfælde af tre variable bliver dette hyperplan til et plan (ifølge et af aksiomer for euklidisk geometri ).

Hvis i en lineær ligning a j ≠ 0 , så er der en løsning på denne ligning for x j Hvis koefficienterne er reelle tal, så er en reel værdi funktion for n reelle variable defineret på denne måde $x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots,n\},i\neq j}{\frac { a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.$ .

Eksempel

Givet en lineær ligning med tre ubekendte:

3\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+x_{3}=7

Løsningen til denne ligning vil være planet , som indeholder tre punkter af typen:

{\displaystyle x_{1}=t_{1},\;x_{2}=t_{2},\;x_{3}=7-3\cdot t_{1}-2\cdot t_{2))

kl .

t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}

Se også

Lineær ligning over en ring
Algebraisk ligning
Lineær ulighed

Noter

↑ Ligningen er inkonsekvent Arkiveret 19. januar 2018 på Wayback Machine (russisk)
↑ Barnett, Ziegler, Byleen, 2008 , s. femten.

Litteratur

R.A. Barnett, M.R. Ziegler, K.E. Byleen. Højskolematematik for erhvervsliv, økonomi, biovidenskab og samfundsvidenskab. — 11. - Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2008. - ISBN 0-13-157225-3 .
Ron Larson, Robert Hostetler. Precalculus: Et kortfattet kursus . - Houghton Mifflin, 2007. - ISBN 978-0-618-62719-6 .
W. A. Wilson, J. I. Tracey. Analytisk geometri . — revideret. — DC Heath, 1925.
Manfred Leppig. Lernstufen Mathematik. - Girardet, 1981. - S. 61-74. — ISBN 3-7736-2005-5 .
Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Håndbog i matematik for ingeniører og studerende ved højere uddannelsesinstitutioner . - udg. 13. — M .: Nauka, 1986. — 544 s.
Helmuth Preckur. Lineær algebra og analytisk geometri. - München: Mentor Verlag (Mentor-Lernhilfe Band 50), 1983. - S. 72-85, 106-114. — ISBN 3-580-64500-5 .

Links

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Lineær ligning , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Algebraiske ligninger
Lineær ligning Kvadratisk ligning kubisk ligning Ligning af fjerde grad Ligning af femte grad Ligning af sjette grad Ligning af syvende grad