Mængdeteori

Mængdelære er en gren af matematikken , der studerer mængders generelle egenskaber - samlinger af elementer af vilkårlig karakter, der har nogle fælles egenskaber. Skabt i anden halvdel af det 19. århundrede af Georg Cantor med betydelig deltagelse af Richard Dedekind , bragte den en ny forståelse af uendelighedens natur til matematikken , en dyb forbindelse mellem teorien og den formelle logik blev opdaget , dog allerede kl. slutningen af det 19. - begyndelsen af det 20. århundrede, stod teorien over for betydelige vanskeligheder i form af nye paradokser , så den oprindelige form for teorien er kendt som naiv mængdeteori . I det 20. århundrede modtog teorien en betydelig metodisk udvikling, flere varianter af aksiomatisk mængdeteori blev skabt , hvilket gav universelle matematiske værktøjer, i forbindelse med spørgsmål om målbarhed af mængder , blev beskrivende mængdeteori omhyggeligt udviklet .

Mængdelære er blevet grundlaget for mange grene af matematikken – generel topologi , generel algebra , funktionsanalyse og har haft en væsentlig indflydelse på den moderne forståelse af matematikfaget [1] . I første halvdel af det 20. århundrede blev den mængdeteoretiske tilgang indført i mange traditionelle grene af matematikken, og derfor blev den meget brugt i undervisningen i matematik, også i skoler. Brugen af mængdelære til den logisk fejlfrie konstruktion af matematiske teorier kompliceres af, at den selv skal underbygge sine ræsonnementsmetoder. Desuden bliver alle de logiske vanskeligheder forbundet med retfærdiggørelsen af den matematiske uendelighedslære kun mere akutte i overgangen til den generelle mængdeteoris synspunkt [2] .

Fra anden halvdel af det 20. århundrede er ideen om teoriens betydning og dens indflydelse på udviklingen af matematikken faldet mærkbart på grund af erkendelsen af, at det er muligt at opnå ret generelle resultater på mange områder af matematikken og uden eksplicit brug af dets apparat, især ved hjælp af kategoriteoretiske værktøjer (ved hjælp af hvilke i teorien om topos generaliserer næsten alle varianter af mængdeteori). Ikke desto mindre er notationen af mængdeteori blevet generelt accepteret i alle grene af matematikken, uanset brugen af den mængdeteoretiske tilgang. På det ideologiske grundlag for mængdeteori blev adskillige generaliseringer skabt i slutningen af det 20. århundrede , herunder fuzzy set theory, multiset teori (bruges hovedsageligt i applikationer), semiset teori (udviklet hovedsageligt af tjekkiske matematikere).

Teoriens nøglebegreber : mængde (et sæt objekter af vilkårlig karakter), forholdet mellem medlemskab af elementer og mængder, delmængde , operationer på mængder , kortlægning af mængder , en-til-en korrespondance , potens ( finit , tællig , utallige ), transfinit induktion .

Historie

Baggrund

Mængder, herunder uendelige, har implicit optrådt i matematik siden det antikke Grækenland : for eksempel i en eller anden form blev inklusionsrelationerne af mængderne af alle rationelle , heltal , naturlige , ulige primtal betragtet . Begyndelsen af ideen om mængdens lighed findes i Galileo : når han diskuterer overensstemmelsen mellem tal og deres kvadrater , henleder han opmærksomheden på uanvendeligheden af aksiomet "helheden er større end delen" på uendelige objekter ( Galileos paradoks ) [3] .

Den første forestilling om et faktisk uendeligt sæt tilskrives Gauss ' arbejde i begyndelsen af 1800-tallet, offentliggjort i hans " Aritmetical Investigations " [4] , hvor han ved at introducere sammenligninger af sættet af rationelle tal opdager ækvivalensklasser (restklasser). ) og opdeler hele mængden i disse klasser, idet de bemærker deres uendelighed og gensidige korrespondance, betragter et uendeligt sæt af løsninger som et enkelt sæt, klassificerer binære kvadratiske former ( ) afhængigt af determinanten og betragter dette uendelige sæt af klasser som uendelige sæt af objekter af ikke-numerisk karakter, foreslår evnen til at vælge mellem ækvivalensklasser for ét objekt - repræsentativt for hele klassen [5] : bruger metoder, der er karakteristiske for den mængdeteoretiske tilgang, som ikke eksplicit blev brugt i matematikken før i det 19. århundrede. I senere værker taler Gauss, i betragtning af mængden af komplekse tal med rationelle reelle og imaginære dele, om reelle, positive, negative, rent imaginære heltal som sine delmængder [6] . Gauss udpegede dog ikke eksplicit uendelige mængder eller klasser som uafhængige undersøgelsesobjekter; desuden kom Gauss med udsagn mod muligheden for at bruge faktisk uendelighed i matematiske beviser [7] . $ax + b \equiv 0 \pmod n$ $ax^2 + 2bxy + cy^2$

En klarere idé om uendelige mængder dukker op i Dirichlets værker , i løbet af forelæsninger 1856-1857 [8] , bygget på grundlag af Gauss' "Aritmetiske undersøgelser". I Galois , Schomann og Serrets værker om teorien om funktionelle sammenligninger fra 1820-1850'erne skitseres også elementer af den set-teoretiske tilgang, som blev generaliseret af Dedekind i 1857, som eksplicit formulerede som en af konklusionerne behovet at betragte hele systemet med uendeligt mange sammenlignelige tal som et enkelt objekt, hvis generelle egenskaber er lige iboende i alle dets elementer, og sammenligner systemet med uendeligt mange uforlignelige klasser med en række heltal [9] . Separate begreber for mængdeteori kan findes i Steiners og Staudts værker fra 1830-1860'erne om projektiv geometri : næsten hele emnet afhænger i høj grad af begrebet en-til-en-korrespondance , som dog er nøglen til mængdeteori, i projektiv geometri blev yderligere korrespondancer lagt oven på sådanne korrespondancerestriktioner (bevarelse af nogle geometriske forhold ). Især introducerer Steiner eksplicit begrebet et utalligt sæt for et sæt punkter på en linje og et sæt stråler i en blyant og opererer med deres utallige delmængder, og i værket fra 1867 introducerer han begrebet kardinalitet som en karakteristik af sæt, mellem hvilke det er muligt at etablere en projektiv korrespondance (Kantor påpegede senere, at selve begrebet og udtrykket lånte fra Steiner og generaliserede projektiv korrespondance til en-til-en) [10] .

Repræsentationerne tættest på Cantors naive mængdeteori er indeholdt i Bolzanos værker [11] , først og fremmest i værket "Paradoxes of the Infinite" , udgivet efter forfatterens død i 1851 , hvori vilkårlige numeriske mængder er betragtet, og til deres sammenligning er det eksplicit defineret begrebet en-til-en korrespondance , og selve udtrykket "sæt" ( tysk menge ) bruges også systematisk for første gang i dette værk. Bolzanos arbejde er imidlertid mere filosofisk end matematisk, især er der ingen klar skelnen mellem magten i et sæt og begrebet størrelse eller uendelighedsorden, og der er ingen formel og integreret matematisk teori i disse repræsentationer [12] . Endelig har teorierne om det reelle tal af Weierstrass , Dedekind og Méré , skabt i slutningen af 1850'erne og offentliggjort i begyndelsen af 1860'erne, meget til fælles med ideerne om naiv mængdeteori i den forstand, at de betragter kontinuummet som et sæt dannet. fra rationelle og irrationelle punkter [13] .

Naiv mængdeteori

Hovedskaberen af mængdeteori i dens naive version er den tyske matematiker Georg Cantor , værkerne fra 1870-1872 om udviklingen af teorien om trigonometriske serier (i fortsættelse af Riemanns værker ) foranledigede skabelsen af en abstraktion af et punktsæt, hvori han introducerer begrebet et grænsepunkt , tæt på det moderne [14] og forsøger med dets hjælp at klassificere "exceptionelle mængder" (sæt af divergenspunkter i en række, muligvis uendelig) [15] . I 1873 blev Cantor interesseret i spørgsmål om ækvivalens af mængder og opdagede tælleligheden af mængden af rationelle tal og negativt spørgsmålet om ækvivalensen af mængder af heltal og reelle tal (det sidste resultat blev offentliggjort i 1874 kl. insisteren fra Weierstrass [16] [17] I 1877 beviser Kantor en-til-en korrespondance mellem og (for enhver ) Cantor deler sine første resultater i korrespondance med Dedekind og Weierstrass, som reagerer med positiv kritik og kommentarer til beviserne , og fra 1879 til 1884 udgiver han seks artikler i Mathematische Annalen med resultaterne af undersøgelser af uendelige punktsæt [18] [19] . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n>0$

I 1877 udgav Dedekind en artikel "On the number of classes of ideals of a finite field", hvori han eksplicit symbolsk opererer med mængder - felter , moduler , idealer , ringe og bruger inklusionsrelationen for dem (ved hjælp af tegnene " <" og ">") , operationerne af forening (med "+"-tegnet) og skæringspunkt (med infikset "−"), og derudover kommer faktisk til algebraen af mængder, der angiver dualiteten af operationerne af forening og kryds, i Dedekinds notation:

(A+B)-(A+C) = A+ (B - (A+C))

(AB)+(AC) = A - (B + (AC))

i hans efterfølgende værker gentagne gange ved at bruge dette resultat [20] . I en publikation fra 1878 om ækvivalensen af kontinuumer af forskellige antal dimensioner, bruger Kantor mængdeteoretiske operationer, med henvisning til Dedekinds arbejde. Derudover blev konceptet om et sæts kardinalitet for første gang eksplicit introduceret , tælleligheden af enhver uendelig delmængde af en tællig mængde blev bevist, og endelige felter af algebraiske tal blev foreslået som eksempler på tællelige tal. sæt. Kantors resultat om ækvivalensen af kontinuumer af forskelligt antal dimensioner tiltrak bred opmærksomhed blandt matematikere, og allerede samme år fulgte adskillige artikler ( Lurot , Thomé , Netto ) med mislykkede forsøg på at bevise umuligheden af samtidig kontinuitet og en-til-en kortlægning af kontinua af forskellige dimensioner [ 21] (et nøjagtigt bevis på dette blev givet af Brouwer i 1911).

I 1880 formulerede Cantor to nøgleideer inden for mængdeteori - konceptet om et tomt sæt og metoden til transfinit induktion . Fra 1881 begyndte andre matematikere at bruge Cantors metoder: Volterra , Dubois-Reymond , Bendixon , Harnack , hovedsageligt i forbindelse med spørgsmål om funktioners integrerbarhed [ 22] . I værket fra 1883 giver Cantor den historisk første formelle definition af kontinuummet ved at bruge begreberne om et perfekt sæt og tætheden af et sæt introduceret af ham (som adskiller sig fra de moderne, der bruges i generel topologi , men grundlæggende ligner dem), og konstruerer også et klassisk eksempel på et intetsteds tæt perfekt sæt (det velkendte som et Cantor-sæt ) [23] , og formulerer også eksplicit kontinuumhypotesen (antagelsen om fravær af mellempotenser mellem en tællig mængde og kontinuummet, dets ubevisbarhed inden for rammerne af ZFC blev vist af Cohen i 1963 ).

Fra 1885-1895 blev arbejdet med skabelsen af naiv mængdeteori primært udviklet i Dedekinds værker (Kantor udgav kun ét lille værk i løbet af disse 10 år på grund af sygdom). Så i bogen "Hvad er tal, og hvad tjener de?" [24] (hvor aksiomatiseringen af aritmetik, kendt som Peano- aritmetik, også først blev konstrueret ) præsenterede systematisk resultaterne af mængdeteori opnået på det tidspunkt i den største almindelighed - for mængder af vilkårlig karakter (ikke nødvendigvis numerisk), en uendelig mængde defineres som en-til-en med en del af sig selv, for første gang formuleret Cantor-Bernstein-sætningen [25] , mængdealgebraen beskrives og egenskaberne for mængdeteoretiske operationer [26] etableres . Schroeder i 1895 henleder opmærksomheden på sammenfaldet af mængdealgebra og propositionalregning og etablerer derved en dyb forbindelse mellem matematisk logik og mængdeteori.

I 1895-1897 udgav Kantor en cyklus på to artikler, som i det hele taget fuldendte skabelsen af naiv mængdeteori [27] [28] .

Fra begyndelsen af 1880'erne, først og fremmest efter udgivelsen af ideer om transfinit induktion, mødte den mængdeteoretiske tilgang skarp afvisning af mange store matematikere på den tid, hovedmodstanderne på det tidspunkt var Hermann Schwartz og i videst omfang Leopold Kronecker , der mente, at kun naturlige tal og det, der er direkte reduceret til dem, kan betragtes som matematiske objekter (hans sætning er kendt, at "Gud skabte naturlige tal, og alt andet er menneskehænders værk" ). En seriøs diskussion udfoldede sig blandt teologer og filosoffer vedrørende teorien om mængder, for det meste kritiske over for ideerne om den faktiske uendelighed og kvantitative forskelle i dette koncept [29] . Ikke desto mindre var mængdeteorien i slutningen af 1890'erne blevet generelt anerkendt, hovedsagelig på grund af rapporterne fra Hadamard og Hurwitz på den første internationale matematikkongres i Zürich ( 1897 ), som viste eksempler på den vellykkede brug af mængdeteori i analyse . , såvel som den udbredte brug af teoretiske sæt værktøjssæt af [30]Hilbert .

Paradokser

Uklarheden af begrebet et sæt i den naive teori, som kun tillod konstruktion af sæt på grundlag af samlingen af alle genstande, der har en vis egenskab, førte til, at der i perioden 1895-1925 var en betydelig række af modsætninger blev opdaget, hvilket såede alvorlig tvivl om muligheden for at bruge mængdeteori som et grundlæggende redskab, blev situationen kendt som " krisen i matematikkens grundlag " [31] .

Den modsigelse, som overvejelsen af mængden af alle ordenstal fører til, blev først opdaget af Cantor i 1895 [32] , genopdaget og først udgivet af Burali-Forti ( italiensk: Cesare Burali-Forti ) i 1897 og blev kendt som Burali -Forti paradoks [33] . I 1899 talte Cantor i et brev til Dedekind for første gang om universets inkonsistens som mængden af alle mængder, eftersom sættet af alle dets undermængder skulle være ækvivalent med sig selv, hvilket ikke opfylder princippet [34] , senere blev denne antinomi kendt som Cantors paradoks . I yderligere korrespondance foreslog Kantor at overveje sæt egentlige ( tysk mengen ), som kan opfattes som et enkelt objekt, og "varianter" ( vielheiten ) for komplekse strukturer, i en eller anden form, denne idé blev afspejlet i nogle senere aksiomatiseringer og generaliseringer [35] . $\mathfrak m < 2^{\mathfrak m}$

Den mest betydningsfulde kontrovers, der påvirkede den videre udvikling af mængdeteori og grundlaget for matematik i almindelighed var Russells paradoks , opdaget omkring 1901 af Bertrand Russell og offentliggjort i 1903 i monografien Foundations of Mathematics . Essensen af paradokset ligger i selvmodsigelsen, når man overvejer spørgsmålet om, hvorvidt mængden af alle mængder, der ikke omfatter sig selv, tilhører sig selv. Derudover går opdagelsen af sådanne antinomier som Richards paradoks , Berrys paradoks og Grelling - Nelsons paradoks , der viser modsætninger, når man forsøger at bruge selvreference af elementers egenskaber, når man konstruerer mængder, tilbage til omtrent samtidig.

Som et resultat af forståelsen af de paradokser, der er opstået i matematikernes fællesskab, er der opstået to retninger for at løse de opståede problemer: formaliseringen af mængdelæren ved at vælge et system af aksiomer , der sikrer konsistens , samtidig med at teoriens instrumentelle kraft bevares. , den anden er udelukkelsen fra overvejelse af alle konstruktioner og metoder, der ikke er modtagelige for intuitiv forståelse. Inden for rammerne af den første retning, startet af Zermelo , Hilbert , Bernays , Hausdorff , blev der skabt flere varianter af den aksiomatiske mængdeteori , og de vigtigste modsætninger blev overvundet på grund af ret kunstige restriktioner. Den anden tendens, som Brouwer var den vigtigste talsmand for, gav anledning til en ny tendens inden for matematik - intuitionisme , og i en eller anden grad blev den støttet af Poincaré , Lebesgue , Borel , Weyl .

Aksiomatiske mængdeteorier

Den første aksiomatisering af mængdeteori blev udgivet af Zermelo i 1908 , den centrale rolle i elimineringen af paradokser i dette system skulle spilles af "Axiom of Selection" ( tysk: Aussonderung ), ifølge hvilket en egenskab kun kan dannes ud fra en indstilles, hvis en relation af formen følger af [35] . I 1922, takket være Skolem og Frenkels arbejde , blev systemet baseret på Zermelos aksiomer endelig dannet, inklusive volumenaksiomer , eksistensen af et tomt sæt , par , sum , grad , uendelighed og med varianter med og uden valgaksiom . Disse aksiomer er mest udbredte og er kendt som Zermelo-Fraenkel-teorien , et system med et valgaksiom betegnes ZFC, uden et valgaksiom - ZF. $P(x)$ $\{ x \midt P(x) \}$ $P(x)$ $x\i A$

Valgaksiomets særlige rolle er forbundet med dets intuitive ikke-oplagthed og det bevidste fravær af en effektiv måde at bestemme sættet samlet ud fra familiens elementer. Især mente Borel og Lebesgue , at beviserne opnået med dens anvendelse har en anden kognitiv værdi end beviserne, der er uafhængige af den, mens Hilbert og Hausdorff accepterede det betingelsesløst og anerkendte for det ikke mindre grad af beviser som for andre ZF-aksiomer. [36 ] .

En anden populær version af aksiomatiseringen af mængdeteori blev udviklet af von Neumann i 1925 , formaliseret i 1930'erne af Bernays og forenklet af Gödel i 1940 (i hans arbejde med at bevise kontinuumhypotesens uafhængighed fra valgaksiomet), endelige version blev kendt som systemet af aksiomer von Neumann-Bernays-Gödel og betegnelsen NBG [37] .

Der er en række andre aksiomatiseringer, blandt dem Morse-Kelly-systemet (MK), Kripke-Platek-systemet , og Tarski-Grothendieck-systemet .

Deskriptiv mængdeteori

I begyndelsen af det 20. århundrede, i værker af Lebesgue , Baer , Borel , blev spørgsmål om sæts målbarhed undersøgt . På baggrund af disse værker udviklede man i 1910-1930 teorien om deskriptive mængder , som systematisk studerer de indre egenskaber af mængder konstrueret ved mængdeteoretiske operationer fra objekter af relativt simpel karakter - åbne og lukkede mængder af det euklidiske rum , metriske rum , metriserbare topologiske rum med en tællig base . Det vigtigste bidrag til skabelsen af teorien blev lavet af Luzin , Alexandrov , Suslin , Hausdorff . Siden 1970'erne er der blevet udviklet generaliseringer af beskrivende mængdeteori til tilfældet med mere generelle topologiske rum .

Grundlæggende begreber

Teorien om mængder er baseret på primære begreber: en mængde og et sæts medlemsforhold (betegnet som [38] - " er et element i en mængde ", " tilhører en mængde "). Det tomme sæt er normalt betegnet med symbolet - et sæt, der ikke indeholder et enkelt element. En delmængde og en supermængde er relationer til inklusion af et sæt i et andet (de betegnes henholdsvis , og for ikke-streng inklusion og og for streng inklusion ). $x\i A$ $x$ $EN$ $x$ $EN$ $\varnothing$ $A\subseteq B$ $A \supseteq B$ $A\delmængde B$ $A \forstyrret B$

Følgende operationer er defineret på sæt:

union , betegnet som - et sæt, der indeholder alle elementer fra og , $A\kop B$ $EN$ $B$
forskellen , angivet som , sjældnere - det sæt af elementer , der ikke er inkluderet i , $A\setminus B$ $A-B$ $EN$ $B$
tilføjelse , betegnet som eller - sættet af alle elementer, der ikke er inkluderet i (i systemer, der bruger det universelle sæt ), $\setminus A$ $-EN$ $EN$
skæringspunkt , betegnet som - et sæt af elementer indeholdt i både , og i , $A\cap B$ $EN$ $B$
symmetrisk forskel , betegnet som , sjældnere - et sæt af elementer, der kun indgår i et af sættene - eller . $A\bigtriangleup B$ $A\;\;\!\!{\dot {-}}\;\;\!\!B$ $EN$ $B$

Forening og skæringspunkt betragtes også ofte over familier af sæt, betegnet med og , og udgør henholdsvis foreningen af alle mængder i familien og skæringspunktet mellem alle sæt i familien. $\bigcup \mathfrak A$ $\bigcap \mathfrak A$ $\mathfrak A$

Union og kryds er kommutative , associative og idempotente . Afhængigt af valget af systemet af aksiomer og tilstedeværelsen af komplementer, kan algebraen af sæt (med hensyn til forening og skæring) danne et distributivt gitter , et komplet distributivt gitter, en boolsk algebra . Venn-diagrammer bruges til at visualisere operationer på sæt .

Det kartesiske produkt af sæt og er sættet af alle bestilte par af elementer fra og : . Kortlægningen af et sæt til et sæt af mængdeteori betragtes som en binær relation - en delmængde - med betingelsen om unikhed af korrespondancen af det første element til det andet: . $EN$ $B$ $EN$ $B$ ${\displaystyle A\ gange B=\{(x,y)\midt x\i A\land y\i B\))$ $f$ $EN$ $B$ $A\ gange B$ $(x, y) \in f \Højrepil \forall z \neq y ((x,z) \notin f)$

Boolean er mængden af alle delmængder af et givet sæt, betegnet med eller (fordi det svarer til sættet af tilknytninger fra til ). $\mathcal P (A)$ $2^A$ $EN$ $\mathbf{2} = \{ 0,1\}$

Magten af et sæt (kardinalnummer) er en karakteristik af antallet af elementer i et sæt, formelt defineret som en ækvivalensklasse over sæt, mellem hvilke en-til-en-korrespondance kan etableres, betegnet med eller . Kardinaliteten af et tomt sæt er nul, for endelige mængder er det et heltal svarende til antallet af elementer. Over kardinaltal, inklusive dem, der karakteriserer uendelige mængder, kan man etablere en ordensrelation , kardinaliteten af et tælleligt sæt er angivet ( Aleph er det første bogstav i det hebraiske alfabet), er det mindste af kardinaliteterne af uendelige mængder, kardinaliteten af kontinuumet er betegnet eller , kontinuumshypotesen er antagelsen om, at der ikke er nogen mellempotenser mellem tællekraft og kontinuumsstyrke. [39] $|A|$ $\skarp A$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Hvis kardinaltallet karakteriserer ækvivalensklassen af mængder med hensyn til muligheden for at etablere en en-til-en korrespondance, så karakteriserer ordinaltallet (ordinal) ækvivalensklasserne af velordnede sæt med hensyn til bijektive korrespondancer, der bevarer den fulde ordreforhold. Ordinaltal er konstrueret ved at indføre aritmetikken af ordenstal (med operationerne addition og multiplikation), ordenstallet af endelige mængder falder sammen med kardinalen (angivet med det tilsvarende naturlige tal), ordenstallet for mængden af alle naturlige tal med en naturlig orden betegnes som , så konstrueres tallene: $\omega$

\omega + 1, \omega + 2, \dots, \omega \cdot 2, \omega \cdot 2 + 1, \dots, \omega ^2, \dots \omega ^\omega, \dots, \omega^{ \omega^\omega}, \dots,

hvorefter -tallene indtastes : $\varepsilon_{0}$

\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot)))) = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega ^{\omega)), \omega^{\omega^{\omega^\omega)), \dots \}

Sættet af alle - og -tal - tællelige ordinaler - har kardinalitet . [40] $\omega$ $\varepsilon$ $\aleph_1$

Generaliseringer

Ved hjælp af kategoriteori , ofte i modsætning til mængdeteori fra både instrumentelle og didaktiske synspunkter, skabte Lover og Tierney ( eng. Miles Tierney ) i 1970 teorien om topos , det objekt, den studerede - en elementær topos - er bygget på princippet om lighed med opførsel af mængder i teoretisk -sæt forståelse, elementære topoi formåede at repræsentere næsten alle versioner af mængdeteori.

Fuzzy set theory er en udvidelse af mængdeteorien foreslået i 1960'erne af Lotfi Zadeh [41] inden for rammerne af begrebet fuzzy logic , i fuzzy theory, i stedet for medlemskabsrelationen af elementer til et sæt, en medlemsfunktion med værdier i intervallet betragtes : et element hører tydeligvis ikke til mængden, hvis dets funktionsmedlemskab er lig med nul, hører klart til - hvis til en, i andre tilfælde, anses medlemsforholdet for fuzzy. Det bruges i informationsteori , kybernetik , datalogi . $[0, 1]$

Teorien om multisæt [42] , i anvendelse på teorien om Petrinet , kaldet teorien om mængder, betragter sæt af elementer af vilkårlig karakter som et grundlæggende koncept, i modsætning til mængder, der tillader tilstedeværelsen af flere forekomster af det samme element, inklusionsrelationen i denne teori erstattes af en funktion af antallet af forekomster: — et helt tal af forekomster af et element i multisættet , når man kombinerer mængder, tages antallet af forekomster af elementer i overensstemmelse med de maksimale forekomster ( ), ved krydsning - ifølge minimum ( ) [43] . Anvendes i teoretisk datalogi , kunstig intelligens , beslutningsteori . $\skarp(a,A)$ $-en$ $EN$ $\skarp (a, A_1 \kop A_2) = \max (\skarp (a, A_1), \skarp (a, A_2)$ $\skarp (a, A_1 \cap A_2) = \min (\skarp (a, A_1), \skarp (a, A_2)$

Alternativ mængdeteori er en teori udviklet af tjekkoslovakiske matematikere siden 1970'erne, hovedsageligt i Petr Vopěnkas værker [ 44 ] , baseretpå en klar formalisering af mængden som et objekt, induktivt konstrueret ud fra en tom mængde og bevidst eksisterende elementer , for egenskaberne af objekter, der tillader deres overvejelse i hele sættet, introduceres begrebet klasser, og til studiet af underklasser af mængder bruges begrebet semisets .

I kultur

I 1960'erne og 1970'erne, inden for rammerne af musikteori , blev dens egen mængdeteori skabt , hvilket gav et middel til en ekstremt generaliseret beskrivelse af musikalske objekter ( lyde med deres tonehøjder , dynamik , varighed ), forholdet mellem dem og operationer på deres grupper (såsom transponering , behandling ). Forbindelsen med matematisk mængdelære er dog mere end indirekte, og snarere terminologisk og kulturel: I musikalsk mængdelære betragtes kun endelige objekter, og der anvendes ingen signifikante mængdeteoretiske resultater eller væsentlige konstruktioner; i langt højere grad er gruppeteoriens og kombinatorikkens apparat involveret i denne teori [45] .

Mere under mængdelærens kulturelle end indholdsmæssige indflydelse skabte den tyske designer Binninger ( tysk: Dieter Binninger ) i 1975 det såkaldte "set-teoretiske" ur ( tysk: Mengenlehreuhr ) (også kendt som Berlin-uret, tysk : Berlin- Uhr ), inkluderet i Guinness Rekordbog som den første enhed, der bruger det femdobbelte princip til at vise tid gennem farvede lysende indikatorer (første og anden række af indikatorer fra toppen viser timer, det tredje og fjerde - minutter; hver lysende indikator svarer til fem timer for første række, en time for anden række, fem minutter for tredje række og et minut for fjerde række). Uret er installeret i Berlins detail- og kontorkompleks Europa-Center .

Noter

↑ Mængdelære / P. S. Alexandrov // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978. " <...> var grundlaget for en række nye matematiske discipliner (teorien om funktioner for en reel variabel, generel topologi, generel algebra, funktionsanalyse osv.) <...> havde en dybtgående indflydelse på forståelsen af selve emnet matematik ”
↑ Matematisk encyklopædisk ordbog . - M . : "Ugler. encyklopædi" , 1988. - S. 382 .
↑ Bourbaki, 1963 , s. 39.
↑ C.F. Gauss . Disquititiones arithmeticae. — Lipsiae , 1801.
↑ Medvedev, 1965 , s. 15-17.
↑ Medvedev, 1965 , s. 22-23.
↑ Medvedev, 1965 , s. 24.
↑ P.G. Lejuen Dirichlet . Vorlesungen über Zahlentheorie. - Braunschweig, 1863. , Dedekind forberedte kurset til udgivelse , allerede efter Dirichlets død
↑ Medvedev, 1965 , s. 24-27.
↑ Medvedev, 1965 , s. 28-32.
↑ Medvedev, 1965 , s. 74-77.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 39-40.
↑ Medvedev, 1965 , s. 61-67.
↑ Medvedev, 1965 , s. 86-87.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 40.
↑ Medvedev, 1965 , s. 94-95.
↑ Kantor, 1985 , 2. På én egenskab af totaliteten af alle algebraiske tal. Original: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258-262, s. 18-21.
↑ Kantor, 1985 , 5. På uendelige lineære punktmanifolder. Original: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), s. 40-141.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 40-41.
↑ Medvedev, 1965 , s. 103-105.
↑ Medvedev, 1965 , s. 107-110.
↑ Medvedev, 1965 , s. 113-117.
↑ Medvedev, 1965 , s. 126-131.
↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen? . - Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. - 60 s. Arkiveret 13. maj 2013 på Wayback Machine
↑ Bevist uafhængigt af Ernst Schroeder og Felix Bernstein i 1897
↑ Medvedev, 1965 , 14. "Hvad er tal, og hvad tjener de?" R. Dedekind, s. 144-157.
↑ Kantor, 1985 , 10. Om retfærdiggørelsen af doktrinen om transfinite mængder. Original tekst: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) s. 481-512; bd. 49 (1897), s. 207-246, s. 173-245.
↑ Medvedev, 1965 , 17. Kantor's new rise, s. 171-178.
↑ Medvedev, 1965 , s. 133-137.
↑ Bourbaki, 1963 , "Ingen kan fordrive os fra paradiset skabt for os af Cantor," siger Hilbert i The Foundations of Geometry, udgivet i 1899, s. 44,49.
↑ Bourbaki, 1963 , Paradoxes of Set Theory and the Crisis of Foundations, s. 44-53.
↑ Upubliceret , rapporteret i et brev til Gilbert
↑ Medvedev, 1965 , s. 177-179.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 44.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 46.
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , s. 61.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 46-47.
↑ Symbolet (fra græsk εστι - "at være") blev introduceret af Peano . $\i$
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , s. 176-211, 305-327.
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , s. 273-303.
↑ L. Zadeh . Fuzzy Sets // Information og kontrol. - 1965. - Bd. 5 . - s. 338-353 . — ISSN 0019-9958 . - doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . Arkiveret fra originalen den 27. november 2007.
↑ A. B. Petrovsky. Mellemrum af sæt og multisæt . - M. : Redaktionel URSS, 2003. - S. 248. - ISBN 5-7262-0633-9 . Arkiveret 24. september 2015 på Wayback Machine
↑ James Peterson. Oversigt over kitteori // Petri Net Theory and The Modeling of Systems. - M .: Mir , 1984. - S. 231-235. — 264 s. - 8400 eksemplarer.
↑ P. Vopenka. Matematik i den alternative mængdeteori = Matematik i den alternative mængdeteori / oversat af A. Dragalin. — M .: Mir, 1983. — 152 s. — (Ny i fremmed matematik). - 6000 eksemplarer.
↑ M. Schuijer. Analyse af atonal musik: Pitch-Class Set Theory og dens sammenhænge. - Rochester : University Rochester Press, 2008. - 306 s. — ISBN 978-1-58046-270-9 .

Litteratur

Aksiomatiske mængdeteorier / V. G. Kanovei // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
N. Bourbaki . Grundlaget for matematik. Logikker. Mængdeori // Essays om matematikkens historie / I. G. Bashmakova (oversat fra fransk). - M . : Forlag for udenlandsk litteratur , 1963. - S. 37-53. — 292 s. — (Matematikelementer).
G. Kantor. Arbejder med teorien om mængder. - M. : Nauka, 1985. - 430 s. - (videnskabens klassikere). - 3450 eksemplarer. .
P. J. Cohen . Om mængdelærens grundlag = PJ Cohen, Kommentarer til mængdelærens grundlag, Proc. Sym. ren matematik. 13 :1 (1971), 9-15. // Advances in Mathematical Sciences / Yu. I. Manin (oversættelse). - M. , 1974. - T. XXIX , no. 5 (179) . - S. 169-176 . — ISSN 0042-1316 . (Russisk)
K. Kuratovsky , A. Mostovsky . Mængdeori / Oversat fra engelsk af M. I. Kort, redigeret af A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 s.
F. A. Medvedev . Udviklingen af mængdelære i det 19. århundrede. — M .: Nauka, 1965. — 232 s. - 2500 eksemplarer.
A. Frenkel , I. Bar-Hillel. Fundamenter for mængdeteori / Oversættelse fra engelsk af Yu. A. Gastev, redigeret af A. S. Yesenin-Volpin . — M .: Mir, 1966. — 556 s.

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX4576377 BNF : 133185505 GND : 4074715-3 J9U : 987007534067605171 LCCN : sh85120387 LNB : 000074139 NDL : 00572365 NKC : ph126563

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"