Par-aksiom

Aksiomet [om eksistensen af et uordnet] par er følgende udsagn fra mængdeteorien :

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

Nemlig: "Fra to [identiske eller forskellige] sæt kan man danne [mindst et]" uordnet par ", det vil sige et sådant sæt , hvor hvert element er identisk med et givet sæt eller et givet sæt ." $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Andre formuleringer af paraksiomet

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b:\ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\}\ )$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\eksisterer c\forall b\ (b\notin c\ \leftrightarrow \ b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\eksisterer c\ (a_{1}\in c\ \land \ a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\ (b \neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2}\til b\notin c)\ )$

Noter

1. Paraksiomet kan udledes af transformationsskemaet

$\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\ \land \ c=\mathrm {f} (b)\ ))$ , hvis vi sætter og vælger en funktion sådan, at . $a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ $\mathrm {f}$ $c=\mathrm {f} (b)\ \Leftrightarrow \ (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})$

2. Vejledt af volumenaksiomet kan man bevise det unikke i det [uordnede] par. Med andre ord kan man bevise, at paraksiomet svarer til udsagnet

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})

, hvad er

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall c'\ (\forall b\ (b\in c'\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2} )\ \leftrightarrow c=c')

Det sidste udsagn giver os mulighed for at angive følgende: "Ud af to [identiske eller forskellige] sæt kan der kun dannes ét "uordnet par", det vil sige et sådant sæt , hvor hvert element er identisk med et givet sæt eller et givet sæt . $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

3. Ud fra aksiomet for et par kan man udlede en sætning om eksistensen af et et-elementsæt:

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)

Se også

Axiomatik af mængdelære