Endeligt sæt

En endelig mængde - en mængde , der svarer til et segment af den naturlige række, såvel som en tom mængde, kaldes finit . Ellers kaldes sættet uendeligt . For eksempel,

{\displaystyle \{2,4,6,8,10\))

et endeligt sæt af fem elementer. Antallet af elementer i en endelig mængde er et naturligt tal og kaldes mængdens kardinalitet . Sættet af naturlige tal er uendeligt:

\{1,2,3,\ldots\}.

Finite sæt spiller en særlig rolle i kombinatorik , som studerer diskrete objekter. Finite set-ræsonnement bruger Dirichlets princip , hvorefter der ikke kan være en indsprøjtning fra en større finit mængde til en mindre.

Formel definition

To sæt og siges at være ækvivalente , hvis der er en bijektiv mapping fra det ene sæt til det andet. Hvis mængderne X og Y er ækvivalente, så skrives dette faktum eller , og mængderne siges at have samme kardinalitet. $x$ $Y$ $X\sim Y$ $|X|=|Y|$

Et sæt kaldes endeligt , hvis det svarer til et sæt for et eller andet ikke-negativt heltal . I dette tilfælde kaldes tallet antallet af elementer i sættet , som skrives som . [en] $x$ $\{1,2,\dots ,n\}$ $\n$ $\n$ $x$ $|X|=n$

Især den tomme mængde er en endelig mængde, hvis antal elementer er 0, det vil sige . $|\varnothing |=0$

Der er andre definitioner af en endelig mængde:

en mængde er endelig, hvis den er induktiv ;
en mængde er endelig, hvis mængden af alle dens delmængder er ikke -refleksiv [2] ;
en mængde er endelig, hvis den er ikke-refleksiv;
en mængde er endelig, hvis den ikke er foreningen af to disjunkte mængder, som hver er ækvivalent med en given mængde [2] .

Problemet med at bestemme mængdernes endelighed er generelt uafgørligt ( Trakhtenbrots sætning ). Der er hverken den svageste eller stærkeste definition af en endelig mængde. For hver logisk formel, der er definitionen af en endelig mængde, er der en stærkere og en svagere formel. Der er et ubegrænset antal logiske formler, der definerer endelige mængder, og blandt dem er der et ubegrænset antal uafhængige definitioner.

Egenskaber

Et regulært sæt svarer ikke til nogen af dets egne undersæt ; [en]
Hvis de endelige mængder er parvis usammenhængende (det vil sige ), så $X_{1},\dots ,X_{n}$ $X_{i}\cap X_{j}=\varnothing$ $|X_{1}\kop X_{2}\kop \dots \cup X_{n}|=|X_{1}|+|X_{2}|+\dots +|X_{n}|$ ;
Hvis er endelige mængder, så $X_{1},\dots ,X_{n}$ $|X_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}|=|X_{1}|\times |X_{2}|\times \dots \times |X_{n }|$ ;
Hvis er en endelig mængde, så er kardinaliteten af dens boolske værdi $x$ $\ |2^{X}|=2^{|X|}.$

Se også

Uendeligt sæt

Noter

↑ 1 2 Soboleva T. S., Chechkin A. V. Diskret matematik . - Akademiet, 2006. - ISBN 5-7695-2823-0 .
↑ 1 2 Frenkel, 1966 , s. 87.

Litteratur

Frenkel A. A. , Bar-Hillel R. Fundamenter for mængdeteori. — M .: Mir, 1966. — 555 s.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Fantastisk catalansk Britannica (online)